Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы
82. Объясните, почему не стоит читать как "
не больше
".
В некоторых книжках отношение частичного порядка определяется
как отношение , удовлетворяющее двум указанным свойствам. В
этом случае отношение
является отношением частичного порядка в
смысле нашего определения.
83.Проверьте это.
Во избежание путаницы отношение иногда называют отношением строгого порядка, а отношение
- отношением нестрогого порядка. Одно и то же частично упорядоченное
множество можно задавать по - разному: можно сначала определить
отношение нестрогого порядка
(рефлексивное,
антисимметричное и транзитивное) и затем из него получить
отношение строгого порядка
, а можно действовать и наоборот.
84. Опуская требование антисимметричности в определении частичного порядка,
получаем определение предпорядка.
Докажите, что любой
предпорядок устроен так: множество делится на непересекающиеся
классы, при этом для любых двух элементов
,
из одного класса, а на фактор - множестве задан
частичный
порядок, который и определяет результат сравнения двух элементов
из разных классов.
Вот несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядоченные множества из других.
- Пусть
- подмножество частично упорядоченного множества
. Тогда на множестве
возникает естественный частичный порядок, индуцированный из
. Формально говоря,
Если порядок набыл линейным, то и индуцированный порядок на
, очевидно, будет линейным.
- Пусть
и
- два непересекающихся частично упорядоченных множества. Тогда на их объединении можно определить частичный порядок так: внутри каждого множества элементы сравниваются как раньше, а любой элемент множества
по определению меньше любого элемента
. Это множество естественно обозначить
. (Порядок будет линейным, если он был таковым на каждом из множеств.)
Это же обозначение применяют и для пересекающихся (и даже совпадающих множеств). Например, говоря об упорядоченном множестве
, мы берем две непересекающиеся копии натурального ряда
и
и рассматриваем множество
, причем
при всех
и
, а внутри каждой копии порядок обычный.
- Пусть
и
- два упорядоченных множества. Можно определить порядок на произведении
несколькими способами. Можно считать, что
, если
и
(покоординатное сравнение). Этот порядок, однако, не будет линейным, даже если исходные порядки и были линейными: если первая координата больше у одной пары, а вторая у другой, как их сравнить? Чтобы получить линейный порядок, договоримся, какая координата будет " главной" и будем сначала сравнивать по ней, а потом (в случае равенства) - по другой. Если главной считать
- координату, то
, если
или если
, а
. Однако по техническим причинам удобно считать главной вторую координату. Говоря о произведении двух линейно упорядоченных множеств как о линейно упорядоченном множестве, мы в дальнейшем подразумеваем именно такой порядок (сначала сравниваем по второй координате).
85. Докажите, что в частично упорядоченном
множестве (порядок покоординатный)
нет бесконечного
подмножества, любые два элемента
которого были бы несравнимы. Верно ли аналогичное
утверждение для
?
86. Докажите аналогичное утверждение для (порядок
покоординатный).
87. Пусть - конечное множество из
элементов.
Рассмотрим
множество
всех подмножеств множества
,
упорядоченное
по включению. Какова максимально
возможная мощность множества
, если
индуцированный на
порядок линеен? если никакие два
элемента
не сравнимы? (Указание: см. задачу 14.)
88. Сколько существует различных линейных порядков на
множестве из элементов?
89. Докажите, что всякий частичный порядок на конечном множестве
можно продолжить до линейного (" продолжить" означает, что
если в исходном порядке, то и в новом это останется
так).
90. Дано бесконечное частично упорядоченное множество . Докажите,
что в нем всегда найдется либо бесконечное подмножество попарно
несравнимых элементов, либо бесконечное подмножество, на котором
индуцированный порядок линеен.
91. (Конечный вариант предыдущей задачи.) Даны целые положительные числа и
. Докажите, что во всяком частично
упорядоченном множестве
мощности
можно указать либо
попарно
несравнимых
элементов, либо
попарно сравнимых.
92. В строчку написаны различных чисел. Докажите, что можно
часть из них вычеркнуть так, чтобы осталась либо возрастающая
последовательность длины
, либо убывающая
последовательность длины
. (Указание: можно воспользоваться
предыдущей задачей.)
93. Рассмотрим семейство всех подмножеств натурального ряда, упорядоченное по включению. Существует ли у него линейно упорядоченное (в индуцированном порядке) подсемейство мощности континуум? Существует ли у него подсемейство мощности континуум, любые два элемента которого несравнимы?
Элемент частично упорядоченного множества называют наибольшим, если он больше любого другого элемента, и максимальным, если не существует большего элемента. Если множество не является линейно упорядоченным, то это не одно и то же: наибольший элемент автоматически является максимальным, но не наоборот. (Одно дело коробка, в которую помещается любая другая, другое - коробка, которая никуда больше не помещается.)
Аналогичным образом определяются наименьшие и минимальные элементы.
Легко понять, что наибольший элемент в данном частично упорядоченном множестве может быть только один, в то время как максимальных элементов может быть много.
94. Докажите, что любые два максимальных элемента
не сравнимы. Докажите, что в конечном частично
упорядоченном множестве для любого элемента
найдется максимальный элемент
, больший или
равный
.