Теорема Кантора

Теорема 8. (общая формулировка теоремы Кантора) Никакое множество не равномощно множеству всех своих подмножеств.

Доказательство. Пусть - взаимно однозначное соответствие между и множеством всех подмножеств множества . Рассмотрим те элементы , которые не принадлежат соответствующему им подмножеству. Пусть - образованное ими множество:

Докажем, что подмножество не соответствует никакому элементу множества . Пусть это не так и для некоторого элемента . Тогда (первое - по построению множества , второе - по предположению ). Полученное противоречие показывает, что действительно ничему не соответствует, так что не взаимно однозначно.

С другой, стороны, любое множество равномощно некоторой части множества . В самом деле, каждому элементу можно поставить в соответствие одноэлементное подмножество . Поэтому, вспоминая определение сравнения множеств по мощности , можно сказать, что мощность множества всегда меньше мощности множества

58. Докажите, что для всех натуральных

В общей формулировке теорема 8 появляется в работе Кантора 1890/91 года. Вместо подмножеств Кантор говорит о функциях, принимающих значения и .

На самом деле мы уже приблизились к опасной границе, когда наглядные представления о множествах приводят к противоречию. В самом деле, рассмотрим множество всех множеств , элементами которого являются все множества. Тогда, в частности, все подмножества множества будут его элементами, и , что невозможно по теореме Кантора.

Это рассуждение можно развернуть, вспомнив доказательство теоремы Кантора - получится так называемый парадокс Рассела. Вот как его обычно излагают.

Типичные множества не являются своими элементами. Скажем, множество натуральных чисел само не является натуральным числом и потому не будет своим элементом. Однако в принципе можно себе представить и множество, которое является своим элементом (например, множество всех множеств). Назовем такие множества " необычными". Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Будет ли оно обычным? Если оно обычное, то оно является своим элементом и потому необычное, и наоборот. Как же так?

Модифицированная версия этого парадокса такова: будем называть прилагательное самоприменимым, если оно обладает описываемым свойством. Например, прилагательное " русский" самоприменимо, а прилагательное " глиняный" нет. Другой пример: прилагательное " трехсложный" самоприменимо, а " двусложный" нет. Теперь вопрос: будет ли прилагательное " несамоприменимый" самоприменимым? (Любой ответ очевидно приводит к противоречию.)

Отсюда недалеко до широко известного " парадокса лжеца ", говорящего " я лгу", или до истории о солдате, который должен был брить всех солдат одной с ним части, кто не бреется сам и т.п.

Возвращаясь к теории множеств, мы обязаны дать себе отчет в том, что плохого было в рассуждениях, приведших к парадоксу Рассела. Вопрос этот далеко не простой, и его обсуждение активно шло всю первую половину 20- го века. Итоги этого обсуждения приблизительно можно сформулировать так:

• Понятие множества не является непосредственно очевидным; разные люди (и научные традиции) могут понимать его по- разному.
• Множества - слишком абстрактные объекты для того, чтобы вопрос " а что на самом деле?" имел смысл. Например, в работе Кантора 1878 года была сформулирована континуум- гипотеза: всякое подмножество отрезка либо конечно, либо счетно, либо равномощно всему отрезку. (Другими словами, между счетными множествами и множествами мощности континуум нет промежуточных мощностей). Кантор написал, что это может быть доказано " с помощью некоторого метода индукции, в изложение которого мы не будем входить здесь подробнее", но на самом деле доказать это ему не удалось. Более того, постепенно стало ясно, что утверждение континуум- гипотезы можно считать истинным или ложным, - при этом получаются разные теории множеств, но в общем- то ни одна из этих теорий не лучше другой.

  Тут есть некоторая аналогия с неевклидовой геометрией. Мы можем считать " пятый постулат Евклида " (через данную точку проходит не более одной прямой, параллельной данной) истинным. Тогда получится геометрия, называемая евклидовой. А можно принять в качестве аксиомы противоположное утверждение: через некоторую точку можно провести две различные прямые, параллельные некоторой прямой. Тогда получится неевклидова геометрия. [Отметим, кстати, распространенное заблуждение: почему- то широкие массы писателей о науке и даже отдельные математики в минуты затмений (см. статью в Вестнике Академии Наук, посвященную юбилею Лобачевского) считают, что в неевклидовой геометрии параллельные прямые пересекаются. Это не так - параллельные прямые и в евклидовой, и в неевклидовой геометрии определяются как прямые, которые не пересекаются.]

  Вопрос о том, евклидова или неевклидова геометрия правильна " на самом деле", если вообще имеет смысл, не является математическим - скорее об этом следует спрашивать физиков. К теории множеств это относится в еще большей степени, и разве что теология (Кантор неоднократно обсуждал вопросы теории множеств с профессионалами - теологами) могла бы в принципе претендовать на окончательный ответ.
• Если мы хотим рассуждать о множествах, не впадая в противоречия, нужно проявлять осторожность и избегать определенных видов рассуждений. Безопасные (по крайней мере пока не приведшие к противоречию) правила обращения со множествами сформулированы в аксиоматической теории множеств (формальная теория ZF, названная в честь Цермело и Френкеля). Добавив к этой теории аксиому выбора, получаем теорию, называемую ZFC (сhoice по-английски - выбор). Есть и другие, менее популярные теории.

Однако формальное построение теории множеств выходит за рамки нашего обсуждения. Поэтому мы ограничимся неформальным описанием ограничений, накладываемых во избежание противоречий: нельзя просто так рассмотреть множество всех множеств или множество всех множеств, не являющихся своими элементами, поскольку класс потенциальных претендентов слишком " необозрим". Множества можно строить лишь постепенно. Например, можно образовать множество всех подмножеств данного множества ( аксиома степени ). Можно рассмотреть подмножество данного множества, образованное элементами с каким- то свойством ( аксиома выделения ). Можно рассмотреть множество всех элементов, входящих хотя бы в один из элементов данного множества ( аксиома суммы ). Есть и другие аксиомы.

Излагая сведения из теории множеств, мы будем стараться держаться подальше от опасной черты, и указывать на опасность в тех местах, когда возникнет искушение к этой черте приблизиться. Пока что такое место было одно: попытка определить мощность множества как класс (множество) всех равномощных ему множеств.