Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3791 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик

Лекция 11: Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

< Лекция 10 || Лекция 11: 123456789

10.10. Задачи для самостоятельного решения

  1. Рассмотреть две краевые задачи:

    {y^{\prime\prime} = e^{y}, \quad y (0) = a, \quad 
y (1) = b, } ( 10.6)

    {y^{\prime\prime} = - e^{y}, \quad y (0) = a , \quad 
y (1) = b.} ( 10.7)
    • Найти решения этих задач, положив a = 1 и сделав замену y'x = p(y).
    • Найти решение методом стрельбы при a = 1 и различных b. Что происходит при 0 < b < 1, 499719998? При b > 1,499719998? [10.6, c. 110].
    • Решить задачу (10.6) методом Нумерова (10.4) с линеаризацией по Ньютону. Сколько узлов сетки необходимо, чтобы найти решение с точностью \varepsilon  = 10^{ - 4}?
  2. Рассмотреть нелинейную сингулярно - возмущенную1Сингулярно - возмущенными задачами называются задачи с малым параметром при старшей производной. краевую задачу:

    \varepsilon y^{\prime\prime} = (y^{\prime})^2, \quad y(0) = 1, y(0) = 0, 0 < \varepsilon \ll 1.

    • Получить точное решение задачи [10.8, c. 11]. Для этого следует сделать замену y'x = p(y).
    • Предложить и реализовать численный метод решения задачи. Сравнить полученное решение с точным. Исследовать поведение погрешности численного метода при \varepsilon  \to 0.
  3. Рассмотрим краевую задачу
    \varepsilon  y'' = (y - u(x))^{2q + 1}, 
\\
y(- 1) = A,  y(1) = B,

    где q \in N — натуральное число, 0 < \varepsilon 
\ll 1.

    Получить численное решение задачи в случаях:

    • u(x) = x2, A > 1, B> 1,
    • u(x) = x2, A = 1, B > 1 или A > 1, B = 1,
    • u(x) = | x |, A > 1, B > 1,
    • u(x) = | x |, A = 1, B > 1.

    Что происходит с решением при увеличении q? (В численных расчетах задать \varepsilon  = 10^{ - 2}, 10^{ - 3}, 10^{ - 4}).

    Теоретически задача исследована в [10.8, c. 170 - 171]. В случае u(x) = | x | появляется внутренний пограничный слой — узкая область в окрестности x = 0, где y отличны от | x |.

  4. Решить численно краевую задачу:

    \begin{gather*}
\varepsilon y^{\prime\prime} = y - y^3, \\ 
y(0) = A, \quad y(1) = B, \left|A\right| < \sqrt 2, \quad \left|B\right| < \sqrt 2, \quad 0 < \varepsilon \ll 1.
\end{gather*}

    Решением этой задачи являются так называемые пиковые, или пичковые, структуры. В [10.8, с. 171 - 174] исследованы свойства решений и приведены графики восьми линейно независимых решений. Там же показано, что при фиксированных A и B существует по четыре линейно независимых решения, таких, что

    \lim\limits_{\varepsilon  \to 0} y(x, \varepsilon ) = 0

    при всех x, за исключением точек x_i = {i/n}, i = \overline{1, n - 
 1}, n \in N (n \ge  2), где \lim\limits_{\varepsilon  \to 0}y(x, \varepsilon ) = \sqrt 2 .

    Найти численно такие структуры для n = 2, n = 3, выбирая соответствующее начальное приближение при линеаризации по Ньютону. (Положить \varepsilon  =  10^{ - 2}, 10^{ - 3}, 10^{ - 4} ).

  5. Известно, что краевая задача
    \varepsilon  y'' = y^{3} - y, 
\\
y(0) = A < - 1,  y(0) = B> 1

    имеет решение с внутренним пограничным слоем в точке x = 1/2 [10.8, c. 175]. Исследовать, как его толщина зависит от параметра \varepsilon.

    Какое начальное приближение надо использовать при решении задачи методом линеаризации?

    Известно, что при A = 0, В = 0 данная краевая задача имеет еще два решения, кроме тривиального ( y \equiv 0 ). Найти их численно.

    Всего у этой задачи счетное множество решений.

  6. Исследовать следующую сингулярно - возмущенную задачу:
    \varepsilon  y'' = - y(y + a(x)), 
\\
y (0) = y_{0},  y (1) = y_{1},  a'(0) = 0

    в зависимости от вида функции a(x). Рассмотреть поведение решения при \varepsilon  \to 0. Удалось ли получить пограничный слой типа всплеска?

  7. Решить численно задачу на нахождение собственных значений и собственных функций волнового уравнения [10.1, c. 180 - 206]:
    y'' = - k2y,  y (0) = y (1) = 0.
    • Сравнить полученные решения с известными точными k_n = n\pi , y_n  \cong \sin (n\pi x) ( n — положительное целое число).
    • Использовать этот же алгоритм для получения решения при больших k. С какими трудностями пришлось столкнуться? Как можно улучшить используемый алгоритм?
    • Рассмотреть данную задачу для других граничных условий, например, y'(0) = y (1) = 0.
  8. В цилиндрических координатах задача на собственные значения имеет следующий вид:

    \begin{gather*}
\frac{d^2 y}{{dr}^2 } + \frac{1}{r}\frac{dy}{dr} =  - k^2 y, \\ 
y(0) = 1, y(1) = 0
\end{gather*}

    Собственными функциями этой задачи являются цилиндрические функции Бесселя нулевого порядка, а собственными значениями задачи будут нули этих функций:

    k1 = 2, 404826 ,  k2 = 5, 520078 , 
    k3 = 8, 653728 ,  k4 = 11, 791538.

    Показать, что подстановка

    $  \tilde {y} = \frac{y}{\sqrt{r}} $
    приводит уравнение к виду, для которого можно применять метод Нумерова. Решить численно спектральную задачу. Сравнить результаты расчета с точными собственными значениями, приведенными выше.

  9. Частица в потенциальной яме

    Найти численно все уровни энергии частицы в потенциальной яме с потенциалом U(x) =  - 2{\mathop{\mathrm{sech}}\nolimits}^2 x и соответствующие им функции распределения.

    Указание: уровни энергии есть собственные значения \lambda _{k} уравнения Шредингера y'' + (\lambda  - U(x))y = 0 с условиями y(+ \infty ) =  y(- \infty ) = 0, а соответствующие им собственные функции и есть функции распределения.

    Данный результат важен для решения уравнения Кортвега - Де Фриза, поэтому обсуждается в [10.9, c. 11 - 17].

  10. Частица в потенциальной яме
    • Получить аналитическое решение уравнения Шредингера для случая прямоугольной и параболической потенциальных ям и сравнить его с численными решениями, найденными обычным методом второго порядка аппроксимации с использованием алгоритма прогонки и методом Нумерова.
    • Рассмотреть случай, когда потенциал имеет зеркальную симметрию относительно x = 0. При этом собственные функции системы будут четными или нечетными относительно x = 0, причем четность или нечетность чередуется с ростом квантового числа (энергии). Проверить этот эффект численно. Каким способом в этом случае можно в два раза сократить объем вычислений при расчете собственных значений для потенциалов?
    • Проверить численно, что для заданного потенциала две волновые функции y_{\lambda } и y_{\lambda '}, соответствующие разным собственным значениям \lambda и \lambda ', являются ортогональными: \int {y_\lambda  (x)y_{\lambda ^{\prime}} (x) = 0}, как это следует из квантовой механики.
  11. Частица в поле с потенциалом Тоды

    Рассмотреть движение частицы в поле с потенциалом Тоды ([10.10, c. 87 - 89]):

    $ \ddot {x} = 1 - e^{x} $

    Это уравнение можно трактовать как движение частицы в поле с потенциалом U(x) = ex - x.

    Найти численно все периодические решения, удовлетворяющие следующим граничным условиям:

    \begin{gather*}
x(0) = x(120) = 0, \\ 
\dot {x}(0) = \dot {x}(120) = A
\end{gather*}

    и дополнительному условию A \ge 10.

    Как период колебаний зависит от A? Сколько решений получается?

< Лекция 10 || Лекция 11: 123456789