Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3791 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 8:

Численное интегрирование

7.8. Задачи для самостоятельного решения

  1. Предложить алгоритмы вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций:

    $  \int\limits_0^1 {\frac{\sin 100x}{1 + x}dx}, \int\limits_1^2\cos 100 x\ln xdx}  $

    (формулы Филона. Подробнее о них в [7.3]).

  2. Предложить алгоритм вычисления интегралов:

    \begin{gather*}
\int\limits_0^{1, 5}{\frac{e^{x}}{x^2 }dx}, \int\limits_0^1 {\frac{\arctg x}{x^2 }dx}, \int\limits_0^1 {\frac{\sqrt{x^3 + 1}}{\sqrt {x}}dx}, \\ 
\int\limits_0^1 {\frac{\cos x - 1}{x^2 }dx}, \int\limits_0^1 {\frac{\cos x}{\sqrt{x}}dx}, 
\int\limits_0^1 {\frac{x\sin x}{\ln (1 + x)}dx}, \\ 
\int\limits_1^\infty  {\frac{1 - \cos x}{x\sqrt {x}}dx, }\int\limits_1^0 {\frac{\sin x}{x}dx}, 
\int\limits_0^1 {\frac{\ln (1 + x)}{x}dx} . 
\end{gather*}

  3. Доказать, что формула Симпсона точна, если подынтегральная функция есть произвольный многочлен третьей степени.
  4. Определить число \pi по формуле

    $  \pi = \int\limits_0^1 {\frac{4}{1 + x^2 }dx, }  $

    используя формулы прямоугольников с центральной точкой, трапеций, Симпсона.

  5. Оценить число разбиений отрезка для вычисления интеграла

    \int\limits_0^1 {\sin x^2 dx}

    по формуле прямоугольников с центральной точкой для достижения точности \varepsilon  = 10^{ - 4}. Тот же вопрос для подсчета интеграла

    \int\limits_0^1 {\exp (x^2 )} dx.
  6. Оценить погрешность при вычислении интеграла

    $  I = \int\limits_0^1 {\frac{dx}{1 + x^2 }}  $

    по формуле прямоугольников с центральной точкой, трапеций, Симпсона.

  7. На элементарном отрезке [xi, xi - 1] подынтегральная функция аппроксимируется кубическим сплайном:

    $  S_3^{(n)} = a_n + b_n (x - x_n) + \frac{c_n}{2}(x - x_n)^2 + \frac{d_n}{6}(x - x_n)^3 .  $

    Вывести соответствующую формулу сплайн - квадратуры и исследовать ее точность.