Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 8:

Игра Эренфойхта и понижение мощности

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

85. Кто выигрывает в игре Эренфойхта для упорядоченных множеств (а) \mathbb Z и \mathbb R ; (б) \mathbb R и \mathbb Q ; (в) \mathbb N и \mathbb N+\mathbb Z? Как он должен играть?

Приведенные примеры делают правдоподобной связь между наличием формулы, различающей интерпретации, и выигрышной стратегии для Н. При этом число ходов, которое понадобится Новатору, соответствует кванторной глубине различающей интерпретации формулы. Кванторная глубина формулы определяется так:

  • Глубина атомарных формул равна нулю.
  • Глубина формул \varphi\vee\psi и \varphi\wedge\psi равна максимуму глубин формул \varphi и \psi.
  • Глубина формулы \neg\varphi равна глубине формулы \varphi.
  • Глубина формул \exists\xi\,\varphi и \forall\xi\,\varphi на единицу больше глубины формулы \varphi.

Другими словами, глубина формулы — это наибольшая "глубина вложенности" кванторов (максимальная длина цепочки вложенных кванторов).

Рассмотрим позицию, которая складывается в игре после k ходов Н и К (перед очередным ходом Н ) и за l ходов до конца игры (таким образом, общая длина игры есть k+l ). В этот момент в каждой из интерпретаций совместными усилиями Н и К выбрано по k элементов. Пусть это будут элементы a_1,\dots,a_k в одной интерпретации (назовем ее A ) и b_1,\dots,b_k в другой ( B ).

Лемма. Если существует формула глубины l с параметрами x_1,\dots,x_k, отличающая a_1,\dots,a_k от b_1,\dots,b_k, то в указанной позиции Н имеет выигрышную стратегию; в противном случае ее имеет К.

Поясним смысл условия леммы. Пусть \varphi — формула глубины l, все параметры которой содержатся в списке x_1,\dots,x_k. Тогда имеет смысл ставить вопрос о ее истинности в интерпретации A при значениях параметров a_1,\dots,a_k, а также в интерпретации B при значениях параметров b_1,\dots,b_k. Если окажется, что в одном случае формула \varphi истинна, а в другом ложна, то мы говорим, что \varphi отличает a_1,\dots,a_k от b_1,\dots,b_k.

Пусть такая формула \varphi существует. Она представляет собой логическую (бескванторную) комбинацию некоторых формул вида \forall \xi \,\psi и \exists\xi \psi, где \psi — формула глубины l-1. Хотя бы одна из формул, входящих в эту комбинацию, должна также отличать a_1,\dots,a_k от b_1,\dots,b_k. Переходя к отрицанию, можно считать, что эта формула начинается с квантора существования. Пусть формула \varphi, имеющая вид

\exists x_{k+1} \psi(x_1,\dots,x_k,x_{k+1}),
истинна для a_1,\dots,a_k и ложна для b_1,\dots,b_k. Тогда найдется такое a_{k+1}, для которого в A истинно
\psi(a_1,\dots,a_k,a_{k+1}).
Это a_{k+1} и будет выигрывающим ходом Новатора; при любом ответном ходе b_{k+1} Консерватора формула
\psi(b_1,\dots,b_k,b_{k+1})
будет ложной. Таким образом, некоторая формула глубины l-1 отличает a_1,\dots,a_k,a_{k+1} от b_1,\dots,b_k,b_{k+1} и потому, рассуждая по индукции, мы можем считать, что в оставшейся (l-1) -ходовой игре Н имеет выигрышную стратегию. (В конце концов мы придем к ситуации, когда некоторая бескванторная формула отличает k+l элементов в A от соответствующих элементов в B, то есть Н выиграет.)

Обратное рассуждение (если наборы не отличимы никакой формулой глубины l, то К имеет выигрышную стратегию в оставшейся l -ходовой игре) аналогично, но чуть более сложно. Здесь важно, что по существу есть лишь конечное число различных формул глубины k.

Точнее говоря, будем называть две формулы (с параметрами) эквивалентными, если они одновременно истинны или ложны в любой интерпретации на любой оценке. Поскольку сигнатура конечна, существует лишь конечное число атомарных формул, все параметры которых содержатся среди u_1,\dots,u_s. Существует лишь конечное число булевых функций с данным набором аргументов, поэтому существует лишь конечное число неэквивалентных бескванторных формул, все параметры которых содержатся среди u_1,\dots,u_s. Отсюда следует, что существует лишь конечное число неэквивалентных формул вида

\exists u_s\, \psi(u_1,\dots,u_{s}),
и потому лишь конечное число неэквивалентных формул глубины 1, параметры которых содержатся среди u_1,\dots,u_{s-1}. (Здесь мы снова используем утверждение о конечности числа булевых функций с данным конечным списком аргументов, а также возможность переименовывать переменную под квантором, благодаря которой мы можем считать, что эта переменная есть u_s.) Продолжая эти рассуждения, мы заключаем, что для любого l и для любого набора переменных u_1,\dots,u_n существует лишь конечное число неэквивалентных формул глубины l, все параметры которых содержатся среди u_1,\dots,u_n. (Здесь мы существенно используем конечность сигнатуры.)

Теперь можно закончить рассуждения про игру Эренфойхта. Пусть элементы a_1,\dots,a_k нельзя отличить от элементов b_1,\dots,b_k с помощью формул глубины l. Опишем выигрышную стратегию для К. Пусть Н выбрал произвольный элемент в одной из интерпретаций, скажем, a_{k+1}. Рассмотрим все формулы глубины l-1 с k+1 параметрами (с точностью до эквивалентности их конечное число); некоторые из них будут истинны на a_1,\dots,a_{k+1}, а некоторые ложны. Тогда формула, утверждающая существование a_{k+1} с ровно такими свойствами (после квантора существования идет конъюнкция всех истинных формул и отрицаний всех ложных) будет формулой глубины l, истинной на a_1,\dots,a_k. По предположению эта формула должна быть истинной и на b_1,\dots,b_k, и потому существует b_{k+1} с теми же свойствами, что и a_{k+1}. Этот элемент b_{k+1} и должен пометить К. Теперь предположение индукции позволяет заключить, что в возникшей позиции (где до конца игры l-1 ходов) у К есть выигрышная стратегия.

Лемма доказана. Ее частным случаем является обещанный критерий элементарной эквивалентности:

Теорема 41. Интерпретации A и B элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда в соответствующей игре Эренфойхта выигрывает Консерватор.

86. Покажите, что условие конечности сигнатуры существенно (без него из элементарной эквивалентности не следует существование выигрышной стратегии для К ).

Заметим, что в некоторых случаях (например, для \mathbb Z и \mathbb Z+\mathbb Z ) игра Эренфойхта дает нам новый способ доказательства элементарной эквивалентности.

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси