Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 7:

Арифметика Пресбургера

< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >

Теорема Тарского-Зайденберга

В этом разделе мы покажем, что в элементарной теории действительных чисел со сложением и умножением выполнима элиминация кванторов. Более точно, рассмотрим сигнатуру, содержащую предикаты = и <, константы 0 и 1, а также операции сложения и умножения. Рассмотрим интерпретацию этой сигнатуры, носителем которой является множество действительных чисел, а предикаты и операции понимаются естественным образом. Тогда для каждой формулы существует эквивалентная (выражающая тот же предикат) бескванторная формула. Это утверждение называют теоремой Тарского-Зайденберга.

Прежде чем доказывать эту теорему, сделаем несколько комментариев:

  • Свойство x<y можно выразить как "существует ненулевое z, для которого x+z^2=y ". Таким образом, класс выразимых предикатов не изменится, если мы удалим символ < из сигнатуры. (Но предикатов, выразимых бескванторными формулами, станет меньше: свойство x\hm>0, как легко понять, не эквивалентно никакой бескванторной формуле, содержащей константы, сложение, умножение и равенство.)
  • Бескванторную формулу нашей сигнатуры можно привести к дизъюнктивной нормальной форме, после чего она превратится в совокупность систем уравнений вида P=0 и неравенств вида P>0. В самом деле, в конъюнкциях могут еще быть отрицания, то есть отношения \ne и \ge, но можно разбить P\ne 0 на (P<0)\lor (P>0), а P\ge 0 на (P=0)\lor
(P>0), после чего воспользоваться дистрибутивностью.
  • Подмножества \mathbb R^n, задаваемые уравнениями вида P=0 и неравенствами вида P>0 (где P — произвольный многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами), а также множества, получаемые из них любым числом операций объединения и пересечения, называют полуалгебраическими. Предыдущее замечание показывает, что всякая бескванторная формула задает полуалгебраическое множество. (Полуалгебраические множества являются обобщениями алгебраических множеств, задаваемых системами полиномиальных уравнений.)
  • Из теоремы Тарского-Зайденберга вытекает, что проекция полуалгебраического множества A\subset\mathbb R^n вдоль одной из осей является полуалгебраическим подмножеством пространства \mathbb R^{n-1}. В самом деле, переход к проекции приводит к добавлению квантора существования, который можно затем элиминировать. (Утверждение о полуалгебраичности проекции полуалгебраического множества по существу равносильно теореме Тарского-Зайденберга, так как элиминация квантора существования является единственным нетривиальным шагом в доказательстве этой теоремы.)
  • Пример: равенство x^2+px+q=0 задает полуалгебраическое (и даже алгебраическое) множество троек \langle x,p,q\rangle. Какова будет его проекция вдоль оси x на плоскость p,q? Как учат в школе, это будет множество p^2-4q\ge 0, которое оказывается полуалгебраическим в полном согласии с теоремой Тарского-Зайденберга. Про аналогичные критерии разрешимости уравнений большей степени в школе не учат, но теорема Тарского-Зайденберга гарантирует их существование.
  • Как и во всех предыдущих случаях элиминации кванторов, преобразование формулы в бескванторную формулу эффективно (выполняется некоторым алгоритмом). В частности, этот алгоритм можно применить к замкнутой формуле (формуле без параметров). Тогда получится бескванторная формула без параметров (формально говоря, там могут быть параметры, от значений которых ничего не зависит, но их можно заменить, скажем, нулями). Истинность такой формулы можно алгоритмически проверить. Тем самым можно алгоритмически проверить истинность любого утверждения о действительных числах, выраженного формулой нашей сигнатуры. Как говорят, элементарная теория действительных чисел со сложением и умножением разрешима.
  • Большинство утверждений школьного курса геометрии с помощью метода координат можно записать как утверждения о действительных числах в нашей сигнатуре. (Исключение, впрочем, составляют утверждения, где речь идет не о треугольниках и четырехугольниках, а о n - угольниках без указания конкретного n ). Записав теоремы в виде замкнутых формул нашей сигнатуры, можно алгоритмически проверить их истинность. Тем самым мы получаем общий метод доказательства большинства теорем школьной геометрии (впрочем, он имеет лишь теоретическое значение, так как алгоритм работает необозримо долго на сколько-нибудь сложных формулах).

Теорема 33 (Тарского-Зайденберга). Для всякой формулы сигнатуры ({=},{<},0,1,{+},{\times}) существует бескванторная формула, задающая тот же предикат на множестве действительных чисел.

Как обычно, достаточно рассматривать формулу с единственным квантором существования, то есть формулу \varphi вида

\exists x\, B(x,x_1,\dots,x_n),
где B(x,x_1,\dots,x_n) — бескванторная формула, включающая в себя только переменные из числа x,x_1,\dots,x_n. Надо доказать, что найдется эквивалентная формуле \varphi бескванторная формула B'(x_1,\dots,x_n).

Посмотрим на атомарные формулы, входящие в формулу B. Перенося все переменные в одну часть, можно считать, что каждая атомарная формула имеет вид P(x,x_1,\dots,x_n)\hm=0 или P(x,x_1,\dots,x_n)\hm>0, где P — некоторый многочлен с целыми коэффициентами от переменных x,x_1,\dots,x_n. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами от переменных x,x_1,\dots,x_n обозначается через \mathbb Z[x,x_1,\dots,x_n]. Группировка членов по степеням переменной x дает многочлен от x, коэффициенты которого представляют собой многочлены от x_1,\dots,x_n. Символически это записывается так:

\mathbb Z[x,x_1,\dots,x_n]=(\mathbb Z[x_1,\dots,x_n])[x]
(многочлены от n+1 переменных можно рассматривать как многочлены от одной переменной, коэффициенты которых лежат в кольце многочленов от n переменных).

При фиксации значений переменных x_1,\dots,x_n входящие в B многочлены превращаются в многочлены от одной переменной x с числовыми коэффициентами. Формула \varphi выражает тогда какое-то свойство этих многочленов и может быть истинной или ложной. Нам надо доказать, что те \langle x_1,\dots,x_n\rangle, при которых она истинна, образуют полуалгебраическое множество.

Для этого введем понятие диаграммы семейства многочленов. Пусть Q_1(x),\dots,Q_k(x) — многочлены от x с действительными коэффициентами. Диаграммой набора Q_1,\dots,Q_k будет таблица, которая строится так. Возьмем все корни всех многочленов Q_i (не считая нулевых многочленов) и расположим их в порядке возрастания. Получим некоторый набор чисел \alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_m. Эти числа разбивают числовую ось на m+1 промежутков (два луча и m-1 интервалов), на каждом из которых знаки всех Q_i постоянны. Составим таблицу, в которой будет k строк (по одной для каждого из многочленов) и 2m+1 столбцов, соответствующих m корням и m+1 промежуткам (столбцы идут в порядке возрастания, так что корни чередуются с промежутками). В каждой ячейке таблицы запишем один из трех символов +, - или 0 в зависимости от того, является ли многочлен положительным, отрицательным или нулевым на соответствующем промежутке (или в соответствующем корне).

< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >
Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси