НОУ ИНТУИТ | Элементы финансовой математики. Лекция 3: Сложные проценты

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.09.2017 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.4 Эффективная процентная ставка

При заключении финансовых контрактов каждый участник сделки стремится заключить контракт на наиболее выгодных для себя условиях. Условия контракта могут быть различными, и надо иметь возможность сравнивать контракты. При этом различные контракты могут предусматривать различные виды начисления процентов, и для сравнения таких контрактов необходимо разработать способы приведения различных процентных ставок к одному виду. Для этой цели вводятся понятия: эквивалентность процентных ставок и эффективная процентная ставка.

Эффективной процентной ставкой, соответствующей данной процентной ставке, называется ставка сложных процентов i_c , эквивалентная данной процентной ставке и не зависящая от срока применения этой ставки.

Формула для эффективной процентной ставки может быть выведена из следующего равенства:

$S=P(1+i_c)^{t}=P\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{tm}\,.$

Выполнив простые преобразования, получаем условия эквивалентности ставок i_c и $j_{m}$ :

$i_c = \left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1\,\,\, (3.10)$

Аналогично выводится и эквивалентность любой пары ставок, например, i_c и $\delta$ :

$i_c = e^{\delta}-1\,\,\, (3.11)\\ \delta = \ln{(1+i_c)}\,\,\, (3.12)$

Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовой операции. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой. Рассмотрим примеры.

Пример 39. Банк выплачивает по вкладам 10% годовых (сложных). Какова реальная доходность вкладов в этом банке при следующих видах начисления процентов: а) ежемесячно, б) ежеквартально, в) по полугодиям, г) непрерывно?

Решение. Чтобы определить реальную доходность вкладов в банк, надо найти эффективную процентную ставку $\,i_c\,$ при: а) $j_{12}=0.1/12\,$ , б) $j_{4}=0.1/4\,$ , в) $j_{2}~=0.1/2\,$ , г) $\delta=0.1$ . Применим теперь соответствующие формулы:

а) по формуле (3.10) получаем: $i_c=(1+0.1/12)^{12}-1=0.1047=10.47\%\,;$
б) по формуле (3.10) получаем: $i_c=(1+0.1/4)^{4}-1=0.1038=10.38\%\,;$
в) по формуле (3.10) получаем: $i_c=(1+0.1/2)^{2}-1=0.1025=10.25\%\,;$
г) по формуле (3.11) получаем: $i_c=e^{0.1}-1=0.1052=10.52\%$

3.5 Плавающий сложный процент

В договорах срочного вклада обычно оговаривается, что в случае невостребования вкладчиком вклада по истечении его срока действия договор продлевается (пролонгируется) на очередной срок, равный сроку вклада. Проценты при очередном сроке вклада начисляются по ставке, действующей в банке для данного вида вкладов на день продления договора^{1 Мы дословно процитировали условия продления невостребованного вклада из текста договора срочного вклада одного из крупных российских банков.}. Если процентная ставка изменяется в течение действия договора, то говорят, что применяется плавающая ставка процента.

При плавающей процентной ставке наращенная сумма за два срока вклада будет вычисляться по формуле:

$S=P(1+r_1)^t(1+r_2)^t\,\,\, (3.13)$

где r_1 - процентная ставка за период по вкладу в первый срок, r_2 - процентная ставка за период по вкладу во второй срок, t - величина одного срока в периодах.

Если обобщить формулу (3.13) на k сроков и допустить, что сроки могут иметь различную длительность $(t_1,\, t_2,\,\dots,\,t_k)$ , то получим общую формулу плавающего сложного процента:

$S=P(1+r_1)^{t_1}(1+r_2)^{t_2}\cdots\, (1+r_k)^{t_k}\,\,\, (3.14)$

Плавающий сложный процент применяется на практике не только в договорах срочных вкладов, но и при выдаче ссуд и ипотеке. Применение плавающего процента свидетельствует о нестабильной обстановке на финансовом рынке. Рассмотрим следующий пример.

Пример 40. Два года назад вы заняли у приятеля 50\,000 руб. и собираетесь вернуть долг сейчас. Какую сумму справедливо вернуть приятелю, если инфляция в эти годы составила 16% и 11%? Под справедливостью подразумевается возможность купить на возвращенные деньги то же количество благ, что и два года назад на одолженные деньги.

Решение. Применяя формулу (32) при t=1 , P=50 000 , r_1=0.16 , r_2=0.11 , получаем: