НОУ ИНТУИТ | Элементы финансовой математики. Лекция 3: Сложные проценты

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.09.2017 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.2 Основные задачи на сложные проценты

При использовании сложных процентов встречаются те же четыре типа задач, которые были рассмотрены для простых процентов. Задача первого типа встретилась в примерах 34 и 35. В следующих примерах решаются задачи остальных трех типов.

Пример 36. Какую сумму следует вложить в банк, выплачивающий $j_{12}=7\%$ , чтобы получить 3 000 руб. через 4 года 6 месяцев? .

Решение. Применим формулу (3.5) при $j_{12}=0.07,\ m=12,\ t=4.5$ :

$3\,000=P\left(1+\frac{0.07}{12}\right)^{12\times 4.5}\,=\,P(1+0.0058)^{54}.$

Из этого равенства находим значение P:

$P=3\,000\times(1+0.0058)^{-54}=3\,000\times 0.7317655=2\,195.30\mbox{ руб.}$

В предыдущем примере требовалось определить, какую сумму денег надо вложить в банк в настоящее время, чтобы получить сумму S через t лет в будущем. Решение такой задачи называется дисконтированием суммы S Величина вклада определяется формулой:

$P=S(1+r)^{-t}\,\,\, (3.6)$

если начисление r% сложных производится один раз в год в течение t лет, и формулой:

$P=S\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{-tm}\,\,\, (3.7)$

если начисление процентов производится по ставке $j_{m}$ в течение t лет. Множитель $(1+r)^{-t}$ называется дисконтным множителем.

Пример 37. Под какую процентную ставку $j_{1}$ следует вложить 5 000 руб., чтобы через 2 года получить 7 000 руб.?

Решение. Применим формулу (3.2) при S=7000, P=5000, t=2:

$7\,000=5\,000\times(1+r)^{2}.$

Преобразуем последнее равенство и определим из него значение r :

$(1+r)^{2}=1.4,\mbox{ откуда\ \ } 1+r=1.183;\ r=0.183=18.3\%$

Пример 38. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Через несколько лет на его счету была сумма, равная 29 386.56 руб. Сколько лет начислялись проценты

Решение. Преобразуем формулу (3.2) и получим формулу для t:

$t=\displaystyle\frac{\displaystyle\ln \frac{S_t}{P}}{\ln (1+r)}\,.$

Используем эту формулу при S=29 386.56,P=20 000 и r=0.08:

$t=\displaystyle\frac{\displaystyle\ln \frac{29\,386.56}{20\,000}}{\ln (1+0.08)}\,=\,5\mbox{ лет.}$

3.3 Непрерывное начисление сложных процентов

Мы видели (пример 35), что сумма, наращенная за t лет при постоянной процентной ставке $j_{m}=j$ , с увеличением числа m увеличивается (этот результат доказывается в общем виде в курсе высшей математики). При неограниченном увеличении m наращенная сумма S=S_m стремится к конечному пределу:

$\lim_{m\to\infty}S_m=Pe^{jt}.$

Этот факт даёт основание применять так называемое непрерывное начисление процентов по годовой ставке $\delta$ . Наращенная за время t сумма определяется формулой:

$S=Pe^{\delta t}\,\,\, (3.8)$

Процентная ставка $\delta$ в этом случае называется силой роста. Иногда силу роста обозначают $j_{\infty}$ . Значение e^x для разных значений x можно вычислить с помощью финансового калькулятора или в Excel.