В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7. |
Временные ряды с высокой изменчивостью
11.2. Обобщенные авторегрессионные условно гетероскедастические модели (ОАРУГ-модели)
В 1986 г. Т. Болеслев обобщил работу Р. Энгла, предположив, что условная дисперсия может представлять АРСС-процесс. В этом случае ошибки наблюдений описываются формулой
где и
Так как - белый шум, не зависящий от прошлых реализаций , то условные и безусловные средние равны нулю. Важным моментом является формула условной дисперсии для
Обобщенная АРУГ()-модель (ОАРУГ-модель) позволяет ввести авторегрессионные компоненты и слагаемые типа скользящего среднего в гетероскедастическую дисперсию.
Выгода от применения ОАРУГ-моделей очевидна. Кроме того, использование этих моделей позволяет придать более экономный и простой вид описанию модели. Такие модели содержат меньше коэффициентов для оценки, а значит, меньше ограничений на эти коэффициенты.
Ключевым моментом в ОАРУГ-моделях является тот факт, что возмущения -последовательности образуют АРСС-процесс. Допустим, необходимо оценить -последовательность с помощью некоторой АРСС-модели. Если модель адекватна, то АКФ и ЧАКФ остатков будут указывать на белый шум. Однако АКФ квадратов остатков могут помочь идентифицировать порядок ОАРУГ-процесса. Исходя из того, что перепишем (11.18) в виде
Уравнение (11.20) представляет АРСС-процесс для -последовательности. Если в процессе присутствует условная гетероскедастичность, то коррелограмма квадратов остатков будет удовлетворять условиям именно такой модели. Последовательность построения коррелограммы следующая.
Сначала оцениваем -последовательность с помощью лучшей из АРСС-моделей (как это описано в главе 10). Находим -квадраты ошибок модели. Вычисляем выборочную дисперсию остатков по формуле
Вычисляем и графически изображаем выборочные автокорреляции квадратов остатков по формуле
Для больших выборок стандартное отклонение может быть взято приблизительно равным. Если значение сильно отличается от нуля, то это свидетельствует о наличии ОАРУГ-процесса.
имеет -распределение с n степенями свободы, если не коррелированы. Если эта гипотеза отвергается, значит, необходимо принять ОАРУГ-модель. На практике обычно полагают .
Более строгий тест, использующий мультипликатор Лагранжа, для обнаружения существования АРУГ-процесса предложил P. Энгл (1982). Его методология включает два шага:
- МНК-оценку наиболее подходящей АР(n)-модели
- вычисление квадратов ошибок модели . Строим авторегрессию порядка квадратов остатков
Если не подходит ни одна из АРУГ-моделей, то все равны нулю и -статистика будет мала. Статистика будет сходиться к - распределению. Если больше критического значения - распределения при заданном уровне значимости, то это свидетельствует о необходимости принять АРУГ-гипотезу.