НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 12: Абак, алгорифмы Маркова, равнодоступная адресная машина

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Равнодоступная адресная машина

Равнодоступная адресная машина (РАМ) — это числовая модель вычислительного устройства. Эта модель является наиболее близкой из рассмотренных к реальным вычислительным машинам и позволяет наиболее реалистично применять теоретические оценки сложности алгоритмов к реальным вычислениям.

Память машины состоит из регистров (ячеек). Каждый регистр имеет адрес и может содержать произвольное число. Регистр с номером 0 называется сумматором.

Программа — последовательность пронумерованных команд. Команда имеет вид

$\eq*{ \langle \t{код операции}\rangle\langle \t{операнд}\rangle }$

Коды операций

$\eq*{ {\rm Load}, {\rm Store}, {\rm Add}, {\rm Sub}, {\rm Mult}, {\rm Div}, {\rm Read}, {\rm Write}, {\rm Jump}, {\rm JgtZ}, {\rm Jzero}, {\rm Halt}. }$

Операнд может быть одного из трех видов

$\eq*{ = i, i, \ast i, }$

где — натуральное число.

Содержимое регистра с номером обозначим через c(i) . Значение v(a) операнда определяется в зависимости от его вида следующим образом.

$\eqa*{ & v(a)\t{ — число}\ i,\ \t{если}\ a\ \t{имеет вид} && = i,\\ & v(a)\t{ — число}\ c(i),\ \t{если}\ a\ \t{имеет вид} && i,\\ & v(a)\t{ — число}\ c(c(i)),\ \t{если}\ a\ \t{имеет вид} && \ast i. }$

При оценке сложности алгоритмов используют в зависимости от обстоятельств разные веса команд. При работе с малыми числами и малым числом регистров реалистичным оказывается так называемый равномерный вес, при котором каждая команда требует единицу времени. При работе с большими числами и большим количеством регистров используется так называемый логарифмический вес команды, при котором время выполнения команды зависит как от значения операнда, так и от значения его адреса.

При определении веса команды используется функция $L\colon Z \to Z$ , выражающая длину записи числа

$\eq*{ L(i)=\left\{\begin{aligned} & \log(i)+1 && \t{при}\ i\ne 0, \\ & 1 && \t{при}\ i=0. \end{aligned} \right. }$

Основание логарифма при получении асимптотических оценок не имеет существенного значения.

Вес t(a) операнда определяется в зависимости от его вида следующим образом:

$\eqa*{ & t(a) = L(i),\ \t{если}\ a\ \t{имеет вид} && = i,\\ & & & \\ & t(a) = L(i) + c(i),\ \t{если}\ a\ \t{имеет вид} && i,\\ & && \\ & t(a) = L(i) + L(c(i)) + L(c(c(i))),\ \t{если}\ a\ \t{имеет вид} && \ast i. }$

Таблица 12.1.
Команда	Действие	Логарифмический вес
${\rm Load}(a)$
${\rm Store}(i)$
${\rm Store}(\ast i)$
${\rm Add}(a)$
${\rm Sub}(a)$
${\rm Mult}(a)$	$c(0) := c(0)\cdot v(a)$
${\rm Div}(a)$	$c(0) := c(0) \mathop{\rm div}\nolimits v(a)$
${\rm Read}(i)$	очередное число
${\rm Read}(\ast i)$	очередное число	$L(i) \!+\!L(c(i)) \!+\! L(c(c(i)))$
${\rm Write}(a)$	печать
${\rm Jump}(a)$	переход на команду с номером	1
${\rm JgtZ}(a)$	переход на команду с номером , если
${\rm Jzero}(a)$	переход на команду с номером , если
${\rm Halt}(a)$	конец вычислений	1

Например, команда ${\rm Add} \ast i$ имеет логарифмический вес

$\eq*{ L(c(0)) + L(i) + L(c(i)) + L(c(c(i))). }$

Временная сложность программы определяется как сумма весов всех выполненных команд с учетом их многократного выполнения.

Емкостная сложность программы определяется как сумма по всем регистрам длин максимальных чисел, побывавших в этих регистрах.

Пример. Рассмотрим вычисление n^n :

$\formula{ {\rm Read}(r);\\ \t if\ r < 0\ \t then\ \t{write}(0)\ \t else\\ \{r_2:= r;\ r_3:= r_1-1;\ \t while\ r_3< 0\ \t do\ \{r_2:= r_2 \ast r;\ r_3:= r_3-1\};\ \t{write}\ (r_2)\}. }$

Этот псевдокод легко может быть заменен РАМ-программой, представленной в таблице 12.2.

Таблица 12.2.
1	${\rm Read}\,1$
2	${\rm Load}\,1$
3	${\rm JgtZ}\,6$
4	${\rm Write} = 0$
5	${\rm Jump}\,22$
6	${\rm Load}\,1$
7	${\rm Store}\,2$
8	${\rm Load}\,1$
9	${\rm Sub} = 1$
10	${\rm Store}\,3$
11	${\rm Load}\,3$
12	${\rm JgtZ} = 14$
13	${\rm Jump}\,21$
14	${\rm Load}\,2$
15	${\rm Mult}\,1$
16	${\rm Store}\,2$
17	${\rm Load}\,3$
18	${\rm Sub} = 1$
19	${\rm Store}\,3$
20	${\rm Jump}\,11$
21	${\rm Write}\,2$
22	${\rm Halt}$

Когда команда выполняется -й раз, сумматор содержит n^i , а содержит . Эта команда выполняется ({n}-1) раз. При равномерном весовом критерии суммарное время — O(n) . При логарифмическом весовом критерии суммарное время равно $\suml(L(n^i) + L(n))$ , где суммирование ведется по $i = 1,2\dts n$ . Поскольку $(L(n^i) + L(n))\sim(i + 1) \log (n)$ , получаем