Объединяемые приоритетные очереди

Левосторонние кучи

Левосторонняя куча — это представление приоритетной очереди с помощью так называемого левостороннего бинарного дерева. При реализации приоритетных очередей левосторонними кучами предусматривается возможность их объединения.

Бинарным деревом называется корневое дерево, у которого каждый узел имеет не более двух непосредственных потомков. Один из потомков называется левым, другой, если он есть, — правым. Узел называется неполным, если он имеет менее двух непосредственных потомков. В частности, листья дерева являются неполными узлами.

Рангом узла будем называть увеличенное на 1 расстояние (число ребер) от него до ближайшего неполного потомка.

Ранг узла также можно определить следующим образом. Расширить данное дерево до полного бинарного дерева, добавляя к каждому узлу, имеющему менее двух потомков, в том числе и к листьям исходного дерева, недостающее количество потомков. Затем приписать каждому из листьев полученного расширенного дерева ранг 0, а ранг каждого из остальных узлов определить как минимум из рангов его непосредственных потомков плюс 1. Очевидно, что ранги вершин исходного дерева совпадут с рангами соответствующих вершин расширенного дерева.

Левостороннее дерево — это бинарное дерево, для каждого узла которого ранг его левого непосредственного потомка в расширенном дереве не меньше ранга его правого потомка.

Ветвью бинарного дерева мы называем последовательность его узлов, начинающуюся с корня и заканчивающуюся листом, такую, что каждый следующий узел является непосредственным потомком предыдущего.

Правой ветвью дерева мы называем ветвь, заканчивающуюся в узле, не имеющем правого потомка, такую, что каждый следующий узел является непосредственным правым потомком предыдущего.

Пример левостороннего дерева (и его расширения) приведен на рис. 5.1. Ребра исходного дерева выделены жирными линиями, а ребра, добавленные при расширении, — пунктиром. Числа рядом с узлами — их ранги.

Рис. 5.1.

Свойства левостороннего дерева

1. Правая ветвь из любого узла дерева имеет минимальную длину среди всех ветвей, исходящих из этого узла.
2. Длина правой ветви левостороннего дерева, имеющего узлов, ограничена величиной , .

Первое свойство непосредственно следует из определения левостороннего дерева. Для доказательства второго свойства рассмотрим левостороннее дерево , у которого длина правой ветви равна . Индукцией по числу докажем, что число узлов в таком дереве удовлетворяет неравенству . Действительно, при утверждение очевидно. При левое и правое поддеревья дерева будут левосторонними, а ранги их корней больше или равны . Следовательно, по предположению индукции число узлов в каждом из них больше или равно , а в дереве — больше или равно

Для реализации приоритетной очереди с помощью левосторонней кучи будем использовать узлы вида

• element — элемент приоритетной очереди или ссылка на него (используется прикладной программой);
• key — его ключ (вес);
• rank — ранг узла, которому приписан рассматриваемый элемент;
• left, right — указатели на левое и правое поддеревья;
• parent — указатель на родителя.

Куча представляется указателем на ее корень. Если — указатель на корень кучи, то через будем обозначать и саму кучу. Заметим, что указатель на родителя используется лишь в операциях УДАЛИТЬ и УМЕНЬШИТЬ_КЛЮЧ (см. ниже).