НОУ ИНТУИТ | Рынок как система обслуживания случайных потоков. Лекция 3: Рынок как система с явными потерями

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.10.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.2. Дифференциальные уравнения Эрланга

Введём понятия макросостояния группы потребителей. Сообщество из групп потребителей может иметь одно микросостояние из набора $(\nu+1)$ состояний:

x_0 - свободны все группы потребителей;

x_1 - занята ровно одна группа потребителей ;

…

x_i - занято ровно групп потребителей;

…

x_v - заняты все потребителей

Диаграмма состояний и переходов показана на рисунке 3.3:

Вероятность того, что система в момент времени находится в состоянии x_i обозначим P_i(t) ; $i=0,1,2 ,... , \nu$ .

Так как все возможные состояния представляют собой полную группу

событий, то для любого момента :

$\sum_{i=0}^{\nu} P_i(t)=1$

I. Запишем дифференциальное уравнение для P_0(t) .

Рассмотрим отрезок (рис. 3.3) времени $[t , t+\Delta t )$ :

Рис. 3.3. Диаграмма процесса гибели и размножения

Рис. 3.4. Отрезок времени

$F_1 (\Delta t)= P(z < \Delta t) =1 - e^{-\lambda \cdot \Delta t} + O(\Delta t)$ - вероятность того, что за время $\Delta t$ поступит партия товаров;

$1-F_1(\Delta t)=e^{-\lambda \cdot \Delta t}=1-\lambda \cdot \Delta t +O(\Delta t)$ - вероятность того, что за время $\Delta t$ партия товаров не поступит;

$F_2(\Delta t)=P(t_{потр}< \Delta t)=1-e^{-\beta \cdot \Delta t} =\beta \cdot \Delta t +0(\Delta t)$ - вероятность того, что за время $\Delta t$ группа потребителей освободится;

$1-F_2(\Delta t)=e^{-\beta \cdot \Delta t }=1-\beta \cdot \Delta t +0(\Delta t )$ - вероятность того, что за время $\Delta t$ группа потребителей не освободится.

Найдём вероятность того, что в момент $t+\Delta t$ система будет находиться

в состоянии x_0 ( все группы потребителей свободны) -

$P_0(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu}P_{j_0}(t)$

( 3.3)

Это может произойти двумя способами (число стрелок в x_0 - две):

Первый вариант (I) - в момент система находилась в состоянии x_0 , и за время $\Delta t$ не поступило ни одного вызова (система не перешла в состояние x_1 );

Bторой вариант (II) - в момент система находилась в состоянии x_1 , и за время $\Delta t$ группа потребителей освободилась, и система перешла в состояние x_0 (рис. 3.5) .

Рис. 3.5. Состояния системы x0

Возможностью перехода рынка из x_2 в x_0 (одновременно освободилось две группы потребителей) при малом $\Delta t$ можно пренебречь, так как поток

освобождений ординарный, то есть

$P_0(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{1}P_{j_0}(t)$

По теореме сложения вероятностей:

$P_0 (t+\Delta t) \approx P (I) +P(II)$

( 3.4)

P(I) найдём по теореме умножения. Вероятность того, что в момент рынок был в состоянии x_0 , равна P_0 (t) . Вероятность того, что за время $\Delta t$ не придёт ни одной партии товара, равна $e^{-lambda \cdot t} \approx 1-\lambda \cdot t$ .

Так как $F_1(\Delta t)=P(z_i < t)=1-e^{-\lambda \cdot t}$ , отсюда:

$P(z_i \geq \Delta t)=1-(1-e ^{-\lambda \cdot t })=e^{-\lambda \cdot t }$

Вспомним ряд Маклорена - e^x = x_00!+x_11!+x_ 22!+... .

С точностью до величины высшего порядка малости - $e^{-\lambda \cdot t } \approx 1-\lambda \cdot \Delta t$ .

Следовательно, $P(I) \approx P_0 (t)\cdot (1-\lambda \cdot \Delta t)$ .

Найдём P(II) . Вероятность того, что в момент система была в состоянии x _1 , равна P_1 (t) . Вероятность того, что за время $\Delta t$ одна линия освободится, равна $F_2 (\Delta t)=P(t_{потреб} <\Delta t)=1-e^{-\beta \cdot \Delta t} \approx \beta \cdot \Delta t$ .

С точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости,

чем $\Delta t$ : $1-e^{-\beta \cdot \Delta t} \approx 1-(1-\beta \cdot \Delta t) \approx \beta \cdot \Delta t$

Следовательно, $P(II)=P_1 (t) \cdot \beta \cdot \Delta t$ .

Подставляя вместо P(I) и P(II) их значения, получим:

$\frac {P_0 (t+\Delta t) -P_0(t)}{\Delta t} \approx = -\lambda \cdot P_0 (t) + \beta \cdot P_1(t)$

Переходя к пределу при $\Delta t \rightarr \infty$ , получим:

$\frac {dP_0 (t)}{dt} \approx -\lambda \cdot P_0 (t)+\beta \cdot P_(1)(t)$

( 3.5)

Аналогичные дифференциальные уравнения составим и для других

вероятностей состояний.

I.Возьмём любое $i (0<i<\nu)$ и найдём вероятность $P_i (t+\Delta t)$ того, что в момент $t+\Delta t$ система будет в состоянии x_I (рис. 3.6)

Рис. 3.6. Система находится в состоянии xi

Вообще $P_i(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu} P_{ji}(t)$ .

Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трёх событий (по числу стрелок, направленных в x_i ):

$P_i(t+\Delta t) \approx P(I)+P(II)+P(III)$

Событие - в момент t рынок был в состоянии x_i , а за время $\Delta t$ не

перешла из него ни в $x_{i+1}$ , ни в $x_{i-1}$ (ни одна партия товара не поступила и ни одна из групп потребителей не освободилась);

Событие I - в момент рынок был в состоянии $x_{i-1}$ (заняты i-1 группа потребителей), а за время $\Delta t$ перешёл в состояние x_i (поступил одна группа товаров);

III - в момент рынок был в состоянии x_i+1 (занята i+1 группа потребителей)

а за время $\Delta t$ одна группа потребителей освободилась.

То есть $P_i(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu} P_{ji}(t)$

Найдём P (I) . Вероятность того, что за время $\Delta t$ не поступит ни одной партии товаров и не освободится ни одна группа потребителей, равна:

$e^{-\lambda \cdot \Delta t}\cdot (e^{-\beta \cdot \Delta t})^i=e^{-(\lambda+i\cdot \beta) \cdot \Delta t}$ ,

где $e^{-\beta \cdot \Delta t}$ - вероятность того, что не освободятся группы потребителей с первой по -ю.

Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем:

$e^{-(\lambda+i\cdot \beta)}\cdot \Delta t \approx 1-(\lambda+i\cdot \beta)\cdot \Delta t$

Таким образом: $P(I)=P_i (t)\cdot [1-(\lambda+i\cdot \beta)\cdot \Delta t]$

Найдём P (II) . Вероятность поступления одного одной партии товара за $\Delta t$ равна:

$1-e^{-\lambda \cdot \Delta t}\approx 1-(1-\lambda \cdot \Delta t)\approx \lambda \cdot \Delta t$

Следовательно:

$P (II)=P_{i-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t$

Найдём P(III) . Вероятность освобождения за время $\Delta t$ одной из (i+1) занятых групп потребителей (или первая, или вторая, … или (i+1) -я):

$(i+1)\cdot (1-e^{-\beta \cdot \Delta t})\approx (i+1)\cdot (1-1+\beta \cdot \Delta t)\approx (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t$

Следовательно:

$P (III)\approx P_{i+1}(t)\cdot (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t$

Подставляя значения P(I) , P(II) и P(III) , получим:

$P_i (t+\Delta t)=P_i (t)\cdot [1-(\lambda +i\cdot \beta)\cdot \Delta t]+P_{i-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t+P_{i+1}(t)\cdot (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t$

Перенесём P_i(t) в левую часть, разделим на $\Delta t$ и, переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение для P_i(t) при $0<i<\nu$ :

$\frac{dP_i(t)}{dt}=-\lambda \cdot P_{i-1}(t)-(\lambda + I \cdot \beta)P_i(t)+(i+1)\cdot \beta \cdot P_{i+1}(t)$

( 3.6)

III. Составим уравнение для последней вероятности $P_{\nu} (t)$ - это вероятность того, что все $\nu$ групп потребителей будут заняты (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Состояние системы, когда заняты все группы потребления

Это может произойти двумя способами:

I - в момент времени рынок находился в состоянии $x_{\nu}$ и за время $\Delta t$ ни одна группа потребителей не освободилась. Вероятность того, что за время $\Delta t$ не освободится первая группа потребителей, равна $e^{-\beta \cdot \Delta t}$ . Вероятность того, что не освободится и первая, и вторая, … , и $\nu$ -я группа потребителей равна:

$e^{-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t} \approx 1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t$ . Тогда $P(I) \approx P_{\nu} (t) \cdot (1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t)$ ;

II - в момент времени система находилась в состоянии $x_{\nu-1}$ и за время $\Delta t$ произошло занятие одной группы потребителей. Вероятность поступления одного партии товаров за $\Delta t$ равна $1-e^{-\lambda \cdot \Delta t}\approx 1-(1-\lambda \cdot \Delta t)\approx \lambda \cdot \Delta t$ .

Тогда $P(II)=P_{\nu-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t$ .

Вероятность того, что в момент $t+\Delta t$ система будет находиться в состоянии $x_{\nu}$ :

$P_{\nu} (t+\Delta t) \approx P_{nu} (t) \cdot (1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t)+P_{\nu-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t$

$\frac{dP_{\nu}(t)}{dt}=\lambda \cdot P_{\nu-1}(t)-\nu \cdot \beta \cdot P_{\nu_{\lambda}}$

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей $P_0(t) ,P_1(t),…, P_{\nu} (t)$

$\frac{dP_0(t)}{dt}= \lambda \cdot P_0(t)-\beta \cdot P_1$ … $[[dP] \downarrow \nu (t_))/dt=\lambda \cdot P_{\downarrow }i(t)-[(\lambda + I \cdot \beta) \cdot P]_{ \downarrow }i(t)+[(i+1)\cdot \beta )\cdot P]_{ \downarrow }(i+1)_{(t)}$ …