НОУ ИНТУИТ | Рынок как система обслуживания случайных потоков. Лекция 3: Рынок как система с явными потерями

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.10.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.3. Стационарный режим. Распределение Эрланга

Естественно принять начальные условия:

$P_0 (t)=1 ; P_1 (0)=P_2 (0)=...=P_{\nu} (0)=0$

При начале работы рынка P_ 0 (t) будет уменьшаться,

а далее P_1 (t),P_2 (t),…,P_v (t) - возрастать. Но беспредельно вероятности возрастать не могут.

Рис. 3.8. Характер изменения потерь согласно формуле Эрланга

Доказано, что для систем с явными потерями переходный процесс затухает, и система при $t \to \infty$ переходит в стационарный режим, так называемый установившийся режим обслуживания, то есть при $t \to \infty$ все вероятности $P_0 (t),P_1 (t),…,P_{\nu} (t)$ стремятся к постоянным пределам $P_0, P_1, …,P_{\nu}$ ; а все их производные - к нулю.

Чтобы найти предельные вероятности P_0, P_1, …,P_v (вероятности состояний системы в установившемся режиме), заменим в уравнениях Эрланга все вероятности $P_i (t), 0 \leq i \leq \nu$ , их пределами P_i , а все производные положим равным нулю. Получим следующую систему алгебраических уравнений:

$-\lambda \cdot P_0+\beta \cdot P_1=0$ ,

$\lambda \cdot P_0-(\lambda + \beta)\cdot P_1+2\cdot \beta \cdot P_2=0$ ,

$\lambda \cdot P_1-(\lambda + 2\cdot \beta)\cdot P_2+3\cdot \beta \cdot P_3=0$

…

$\lambda \cdot P_{i-1}-(\lambda + I \cdot \beta)\cdot P_i+(i+1)\cdot \beta \cdot P_{i+1}=0$ , $0<i<\nu$

…

$\lambda \cdot P_{\nu -1}-v\cdot \beta \cdot P_{\nu} = 0$

( 3.8)

К этим уравнениям необходимо добавить условие $\sum_{i=0}^{\nu} P_i=1$ .

Решим систему этих уравнений относительно $P_ 0, P_ 1, …,P_{\nu}$ .

Из первого уравнения имеем

$P_1=\frac{\lambda}{\beta}\cdot P_0$

$P_2=\frac{\lambda + \beta}{2\beta}\cdot P_1 + \frac{\lambda}{2\cdot \beta}\cdot P_0$

Из второго - $P_2 =\lambda+2\cdot \beta \cdot P_1$ .

Подставляя вместо P_1 значение, выраженное из первого уравнения, получим:

$P_2=\frac{(\lambda + \beta)\cdot \lambda}{2\beta \cdot \beta}\cdot P_0+\frac{\lambda}{2\cdot \beta}\cdot P_0 = \frac{\lambda ^2}{2\cdot \beta ^2}$

Обобщённый вид формулы:

$P_i=\frac{\lambda _i}{\beta _ii!}P_0$

( 3.9)

Посмотрим, что собой представляет отношение $\frac{\lambda}{\beta}$ :

$\lambda$ - это параметр потока, численно равный для простейшего потока интенсивности, то есть среднему числу партий товаров в единицу времени;

- математическое ожидание средней длительности потребления одной партии товаров.

Следовательно, $\lambda \cdot$ - есть интенсивность поступающего предложения

$\lambda \cdot =A$

Выражение для P_i перепишется в следующем виде:

$P_i=\frac{A_i}{i!}P_0$

Для определения P_ 0 воспользуемся условием нормировки

$\sum_{j=0}^{}\nu = P_i=1$ ,

$\sum_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}P_{0_i}=1$

отсюда

$P_0=\frac{1}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}}$

Окончательно выражение для P_ i примет вид:

$P_i=\frac{\frac{A_i}{i!}}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}}$

$\sum_{j=0}^{\nu}P_i(t)=1$

Огибающие:

Рис. 3.9. Огибающие распределения Эрланга

При $\nu \to \infty$ распределение Эрланга переходит в распределение Пуассона.

Эту формулу часто обозначают следующим образом:

$P_i=E_{i,\nu} (A) =E_i (A)$ - вероятность того, что в произвольный момент

времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью $\nu$ потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров , создаваемая простейшим потоком товаров, занято потребителей.