Переменные, выражения, присваивания

1.2.27. (Двоичный поиск) Дана последовательность целых чисел и число a. Выяснить, содержится ли a в этой последовательности, то есть существует ли i из 1..n, для которого . (Количество действий порядка .)

Решение. (Предполагаем, что .)

l := 1; r := n+1; 
{r > l, если a есть вообще, то есть и среди x[l]..x[r-1]} 
while r - l <> 1 do begin 
| m := l + (r-l) div 2 ; 
| {l < m < r } 
| if x[m] <= a then begin 
| | l := m; 
| end else begin {x[m] > a} 
| | r := m; 
| end; 
end;

(Обратите внимание, что и в случае инвариант не нарушается.)

Каждый раз уменьшается примерно вдвое, откуда и вытекает требуемая оценка числа действий.

Замечание.

В этой задаче существенно, что массив упорядочен - поиск в неупорядоченном массиве требует времени, пропорционального длине массива. (Чтобы убедиться, что какого-то числа нет в массиве, надо просмотреть все его элементы.)

1.2.28. (Из книги Д. Гриса) Имеется массив x: array[1..n] of array[1..m] of integer, упорядоченный по строкам и по столбцам:

Решение. Представляя себе массив x как матрицу (прямоугольник, заполненный числами), мы выберем прямоугольник, в котором только и может содержаться a, и будем его сужать. Прямоугольник этот будет содержать x[i][j] при и

l:=n; k:=1; 
{l>=0, k<=m+1, если a есть, то в описанном прямоугольнике} 
while (l > 0) and (k < m+1) and (x[l][k] <> a) do begin 
| if x[l][k] < a then begin 
| | k := k + 1; {левый столбец не содержит a, удаляем его} 
| end else begin {x[l][k] > a} 
| | l := l - 1; {нижняя строка не содержит a, удаляем ее} 
| end; 
end; 
{x[l][k] = a или прямоугольник пуст } 
answer:= (l > 0) and (k < m+1) ;

Замечание. Здесь та же ошибка: x[l][k] может оказаться неопределенным. (Ее исправление предоставляется читателю.)

1.2.29. (Московская олимпиада по программированию) Дан неубывающий массив положительных целых чисел . Найти наименьшее целое положительное число, не представимое в виде суммы нескольких элементов этого массива (каждый элемент массива может быть использован не более одного раза). Число действий порядка n.

Решение. Пусть известно, что числа, представимые в виде суммы элементов , заполняют отрезок от 1 до некоторого N. Если , то и будет минимальным числом, не представимым в виде суммы элементов массива . Если же , то числа, представимые в виде суммы элементов , заполняют отрезок от 1 до N+a[k+1].

k := 0; N := 0; 
{инвариант: числа, представимые в виде суммы элементов 
 массива a[1]..a[k], заполняют отрезок 1..N} 
while (k <> n) and (a[k+1] <= N+1) do begin 
| N := N + a[k+1]; 
| k := k + 1; 
end; 
{(k = n) или (a[k+1] > N+1); в обоих случаях ответ N+1} 
writeln (N+1);

(Снова тот же дефект: в условии цикла при ложном первом условии второе не определено.)

1.2.30. (Для знакомых с основами алгебры) В целочисленном массиве хранится перестановка чисел (каждое из чисел встречается по одному разу).

(а) Определить четность перестановки. (И в (а), и в (б) количество действий порядка .)

(б) Не используя других массивов, заменить перестановку на обратную (если до работы программы , то после должно быть ).

Указание. (а) Четность перестановки определяется количеством циклов. Чтобы отличать уже пройденные циклы, у их элементов можно, например, менять знак. (б) Обращение производим по циклам.

1.2.31. Дан массив a[1..n] и число b. Переставить числа в массиве таким образом, чтобы слева от некоторой границы стояли числа, меньшие или равные b, а справа от границы - большие или равные b. Число действий порядка n.

Решение.

l:=0; r:=n; 
{инвариант: a[1]..a[l]<=b; a[r+1]..a[n]>=b} 
while l <> r do begin 
| if a[l+1] <= b then begin 
| | l:=l+1; 
| end else if a[r] >=b then begin 
| | r:=r-1; 
| end else begin {a[l+1]>b; a[r]<b} 
| | ..поменять a[l+1] и a[r] 
| | l:=l+1; r:=r-1; 
| end; 
end;

1.2.32. Та же задача, но требуется, чтобы сначала шли элементы, меньшие b, затем равные b, а лишь затем большие b.

Решение. Теперь потребуются три границы: до первой будут идти элементы, меньшие b, от первой до второй - равные b, затем неизвестно какие до третьей, а после третьей - большие b. (Более симметричное решение использовало бы четыре границы, но вряд ли игра стоит свеч.) В качестве очередного рассматриваемого элемента берем элемент справа от средней границы.

l:=0; m:=0; r:=n; 
{инвариант: a[1..l]<b; a[l+1..m]=b; a[r+1]..a[n]>b} 
while m <> r do begin 
| if a[m+1]=b then begin 
| | m:=m+1; 
| end else if a[m+1] > b then begin 
| | ..обменять a[m+1] и a[r] 
| | r:=r-1; 
| end else begin {a[m+1] < b} 
| | ..обменять a[m+1] и a[l+1] 
| | l:=l+1; m:=m+1; 
| end; 
end;

1.2.33. (Вариант предыдущей задачи, названный в книге Дейкстры задачей о голландском флаге.) В массиве длины n стоят числа 0, 1 и 2. Переставить их в порядке возрастания, если единственной разрешенной операцией (помимо чтения) над массивом является перестановка двух элементов. Число действий порядка n.

1.2.34. Дан массив a[1..n] и число . Для каждого участка из m стоящих рядом членов (таких участков, очевидно, ) вычислить его сумму. Общее число действий должно быть порядка n.

Решение. Переходя от участка к соседнему, мы добавляем один член, а другой вычитаем.

1.2.35. Дана квадратная таблица a[1..n][1..n] и число . Для каждого квадрата в этой таблице вычислить сумму стоящих в нем чисел. Общее число действий порядка .

Решение. Сначала для каждого горизонтального прямоугольника размером вычисляем сумму стоящих в нем чисел. (При сдвиге такого прямоугольника по горизонтали на 1 нужно добавить одно число и одно вычесть.) Затем, используя эти суммы, вычисляем суммы в квадратах. (При сдвиге квадрата по вертикали добавляется полоска, а другая полоска убавляется.)

1.2.36. В массиве встречаются по одному разу все целые числа от 0 до n, кроме одного. Найти пропущенное число за время порядка n и с конечной дополнительной памятью.

Указание. Сложить все числа в массиве.