Переменные, выражения, присваивания

1.2.20. Даны два массива и . "Соединить" их в массив ( ; каждый элемент должен входить в массив z столько раз, сколько раз он входит в общей сложности в массивы x и y ). Число действий порядка m.

Решение.

k1 := 0; l1 := 0; 
{инвариант: ответ получится, если к z[1]..z[k1+l1] добавить 
 справа соединение массивов x[k1+1]..x[k] и y[l1+1]..y[l]} 
while (k1 <> k) or (l1 <> l) do begin 
| if k1 = k then begin 
| | {l1 < l} 
| | l1 := l1 + 1; 
| | z[k1+l1] := y[l1]; 
| end else if l1 = l then begin 
| | {k1 < k} 
| | k1 := k1 + 1; 
| | z[k1+l1] := x[k1]; 
| end else if x[k1+1] <= y[l1+1] then begin 
| | k1 := k1 + 1; 
| | z[k1+l1] := x[k1]; 
| end else if x[k1+1] >= y[l1+1] then begin 
| | l1 := l1 + 1; 
| | z[k1+l1] := y[l1]; 
| end else begin 
| | { такого не бывает } 
| end; 
end; 
{k1 = k, l1 = l, массивы соединены}

Этот процесс можно пояснить так. Пусть у нас есть две стопки карточек, отсортированных по алфавиту. Мы соединяем их в одну стопку, выбирая каждый раз ту из верхних карточек обеих стопок, которая идет раньше в алфавитном порядке. Если в одной стопке карточки кончились, берем их из другой стопки.

1.2.21. Даны два массива и . Найти их " пересечение", то есть массив содержащий их общие элементы, причем кратность каждого элемента в массиве z равняется минимуму из его кратностей в массивах x и y. Число действий порядка .

1.2.22. Даны два массива и и число q. Найти сумму вида , наиболее близкую к числу q. (Число действий порядка k+l, дополнительная память - фиксированное число целых переменных, сами массивы менять не разрешается.)

Указание. Надо найти минимальное расстояние между элементами и , что нетрудно сделать в ходе их слияния в один (воображаемый) массив.

1.2.23. (из книги Д. Гриса) Некоторое число содержится в каждом из трех целочисленных неубывающих массивов , , . Найти одно из таких чисел. Число действий должно быть порядка .

Решение.

p1:=1; q1=1; r1:=1; 
{инвариант: x[p1]..x[p], y[q1]..y[q], z[r1]..z[r] 
 содержат общий элемент} 
while not ((x[p1]=y[q1]) and (y[q1]=z[r1])) do begin 
| if x[p1]<y[q1] then begin 
| | p1:=p1+1; 
| end else if y[q1] <z[r1] then begin 
| | q1:=q1+1; 
| end else if z[r1] <x[p1] then begin 
| | r1:=r1+1; 
| end else begin 
| | { так не бывает } 
| end; 
end; 
{x[p1] = y[q1] = z[r1]} 
writeln (x[p1]);

1.2.24. Та же задача, только заранее не известно, существует ли общий элемент в трех неубывающих массивах и требуется это выяснить (и найти один из общих элементов, если они есть).

1.2.25. Элементами массива a[1..n] являются неубывающие массивы [1..m] целых чисел:

Решение. Введем массив , отмечающий начало "остающейся части" массивов .

for k:=1 to n do begin 
|  b[k]:=1; 
end; 
eq := true; 
for k := 2 to n do begin 
| eq := eq and (a[1][b[1]] = a[k][b[k]]); 
end; 
{инвариант: оставшиеся части пересекаются, т.е. существует 
 такое х, что для всякого i из [1..n] найдется j из [1..m], 
 не меньшее b[i], для которого a[i][j] = х;  eq <=> первые 
 элементы оставшихся частей равны} 
while not eq do begin 
| s := 1; k := 1; 
| {a[s][b[s]] - минимальное среди a[1][b[1]]..a[k][b[k]]} 
| while k <> n do begin 
| | k := k + 1; 
| | if a[k][b[k]] < a[s][b[s]] then begin 
| | | s := k; 
| | end; 
| end; 
| {a[s][b[s]] - минимальное среди a[1][b[1]]..a[n][b[n]]} 
| b [s] := b [s] + 1; 
| for k := 2 to n do begin 
| | eq := eq and (a[1][b[1]] = a[k][b[k]]); 
| end; 
end; 
writeln (a[1][b[1]]);

1.2.26. Приведенное решение предыдущей задачи требует порядка действий. Придумать способ с числом действий порядка mn.

Указание. Придется пожертвовать симметрией и выбрать одну из строк за основную. Двигаясь по основной строке, поддерживаем такое соотношение: во всех остальных строках отмечен максимальный элемент, не превосходящий текущего элемента основной строки.