Переменные, выражения, присваивания

1.1.15. Даны натуральные a и b, не равные 0 одновременно. Найти d = НОД(a,b) и такие целые x и y, что .

Решение. Добавим в алгоритм Евклида переменные p, q, r, s и впишем в инвариант условия m = p*a+q*b ; n = r*a+s*b.

m:=a; n:=b; p := 1; q := 0; r := 0; s := 1; 
{инвариант: НОД (a,b) = НОД (m,n); m,n >= 0 
    m = p*a + q*b; n = r*a + s*b.} 
while not ((m=0) or (n=0)) do begin 
| if m >= n then begin 
| | m := m - n; p := p - r; q := q - s; 
| end else begin 
| | n := n - m; r := r - p; s := s - q; 
| end; 
end; 
if m = 0 then begin 
| k :=n; x := r; y := s; 
end else begin 
| k := m; x := p; y := q; 
end;

1.1.16.Решить предыдущую задачу, используя в алгоритме Евклида деление с остатком.

1.1.17. (Э. Дейкстра) Добавим в алгоритм Евклида дополнительные переменные u, v, z:

m := a; n := b; u := b; v := a; 
{инвариант: НОД (a,b) = НОД (m,n); m,n >= 0 } 
while not ((m=0) or (n=0)) do begin 
| if m >= n then begin 
| | m := m - n; v := v + u; 
| end else begin 
| | n := n - m; u := u + v; 
| end; 
end; 
if m = 0 then begin 
| z:= v; 
end else begin {n=0} 
| z:= u; 
end;

Доказать, что после исполнения алгоритма значение z равно удвоенному наименьшему общему кратному чисел a, b: .

Решение. Заметим, что величина не меняется в ходе выполнения алгоритма. Остается воспользоваться тем, что вначале она равна и что .

1.1.18. Написать вариант алгоритма Евклида, использующий соотношения

не включающий деления с остатком, а использующий лишь деление на 2 и проверку четности. (Число действий должно быть порядка для исходных данных, не превосходящих k.)

Решение.

m:= a; n:=b; d:=1; 
 {НОД(a,b) = d * НОД(m,n)} 
 while not ((m=0) or (n=0)) do begin 
 | if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 0) then begin 
 | | d:= d*2; m:= m div 2; n:= n div 2; 
 | end else if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 1) then begin 
 | | m:= m div 2; 
 | end else if(m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 0) then begin 
 | | n:= n div 2; 
 | end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m>=n) then begin 
 | | m:= m-n; 
 | end else if (m mod 2=1) and (n mod 2=1) and (m<=n) then begin 
 | | n:= n-m; 
 | end; 
 end; 
 {m=0 => ответ=d*n; n=0 => ответ=d*m}

Оценка числа действий: каждое второе действие делит хотя бы одно из чисел m и n пополам.

1.1.19. Дополнить алгоритм предыдущей задачи поиском x и y, для которых .

Решение. (Идея сообщена Д. Звонкиным.) Прежде всего заметим, что одновременное деление a и b пополам не меняет искомых x и y. Поэтому можно считать, что с самого начала одно из чисел a и b нечетно. (Это свойство будет сохраняться и далее.)

Теперь попытаемся, как и раньше, хранить такие числа , что