НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 14: Алгоритмы нечеткого контроля и управления

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В лекции рассматриваются применения метода нечетких множеств в различных задачах контроля и управления

Ключевые слова: принятия решений, игра, множества, стратегия игрока, значение, нечеткая цель, нечеткая цель, нечеткое множество, пересечение, информация, управляемая система, входной, функция, нечеткое ограничение, оптимальная стратегия, динамическое программирование, таблица, представление, пространство состояний, целый, объект, связь, математическая модель системы, коэффициенты, точность, детерминированная модель, решение обратной задачи, интервал, координаты, подмножество, Универсальное множество, высказывание, нечеткое отношения, состояние системы, динамическая система, вектор, определение, цель, управляющие, нечеткая цельи

Игры в нечетко определенной обстановке

Во многих прикладных областях часто встречаются ситуации, в которых выполнение цели или результаты принятия решений одним лицом зависят не только от его действий, но и от действий другого лица или группы лиц, преследующих свои собственные цели. Рассмотренный подход к задачам принятия решений можно применять и для анализа подобных игровых ситуаций в нечетко определенной обстановке. Формулируется такая игра следующим образом.

Пусть и — множества элементов, которые могут выбирать игроки 1 и 2, соответственно. Допустимые выборы (стратегии) игроков 1 и 2, описываются нечеткими множествами $C_{1}$ и $C_{2}$ в и соответственно с функциями принадлежности $\mu _{C_1 }$ и $\mu _{C_2 }$ . Заданы также функции $f_1 ,\;f_2 \;:\;X \times Y \to R$ , причем значение $f_i (x,y)$ есть оценка игроком ситуации (x,y) без учета допустимости выборов и . Цель игрока описывается нечетким множеством $G_{i}$ в c функцией принадлежности $\mu _{G_i } \;:\;R \to [0,1]$ . Следует заметить, что цель, поставленная игроком, может оказаться плохо совместимой или вообще несовместимой с его возможностями, т.е. с множеством его стратегий.

Целью игрока можно считать нечеткое множество в $X\times Y$ с функцией принадлежности

$\mu _{\bar G_i } (x,y) = \mu _{G_i } (f_i (x,y)),\quad \quad \forall (x,y) \in X \times Y.$

Образом этого нечеткого множества при отображении $f_{i}$ является заданное нечеткое множество цели игрока .

Введем нечеткие множества $D_{1}$ и $D_{2}$ в $X\times Y$ , определив их функции принадлежности следующим образом:

$\begin{gathered} \mu _{D_1 } (x,y) = \mu _{C_1 } (x) \wedge \mu _{\bar G_1 } (x,y), \\ \mu _{D_2 } (x,y) = \mu _{C_2 } (x) \wedge \mu _{\bar G_2 } (x,y). \\ \end{gathered}$

Смысл нечетких множеств $D_{1}$ и $D_{2}$ можно пояснить так. Если, например, игроку 1, известен конкретный выбор $y^{*}$ игроком 2, то перед ним стоит задача достижения нечеткой цели $\mu _{\bar G_2 } (x,y^ * )$ при множестве допустимых альтернатив $\mu _{C_1 } (x)$ . В соответствии с описанным на "прошлой лекции подходом Беллмана-Заде" , решение $D_{1}$ такой задачи определяется как пересечение нечетких множеств цели и ограничения:

$\mu _{D_1 } (x,y^ * ) = \mu _{C_1 } (x) \wedge \mu _{\bar G_1 } (x,y^ * ).$

Таким образом, нечеткое множество $D_{1}$ можно рассматривать как семейство (по параметру ) решений задач достижения нечетких целей $\mu _{\bar G_1 } (x,y^*)$ . Аналогичный смысл придается и множеству $D_{2}$ .

Далее будем считать, что при каждом фиксированном выборе одного игрока второй выбирает стратегию, которая максимизирует соответствующую ему функцию $\mu _{D_i }$ .

Если игрок полагается целиком лишь на свои возможности, то естественна его ориентация на получение наибольшего гарантированного выигрыша, т.е. рациональным считается такой способ оценки игроком 1 своих выборов, при котором он рассчитывает на наихудшую для него реакцию игрока 2 из множества возможных реакций последнего.

При этом важную роль играет имеющаяся в его распоряжении информация об интересах и ограничениях игрока 2. Если, например, игрок 1 имеет возможность первым выбрать свою стратегию, а игроку 2 становится известным этот выбор, то наибольший гарантированный выигрыш игрока 1 равен

$H_1 = \mathop {\max }\limits_{x \in X} \;\mathop {\min }\limits_{y \in Y(x)} \;\mu _{D_1 } (x,y).$

Присутствующее в этом выражении множество Y(x) , зависящее от , есть множество возможных реакций (ответов) игрока 2 на выбор игрока 1. В этом смысле зависимость Y(x) отражает степень информированности игрока 1 об интересах и ограничениях игрока 2.

Если величина $H_{1}$ слишком мала, это означает, что цель, к выполнению которой стремится игрок 1, слишком завышена (с учетом его возможностей). Поэтому естественным образом возникает следующая задача. Каково должно быть нечеткое множество стратегий игрока 1, которое гарантировало бы ему (при заданной информированности об игроке 2) достижение цели со степенью, не меньшей некоторого заданного числа $\alpha$ ?

Для решения этой задачи введем множество

$X_\alpha = \left\{ {x\;|\;\mathop {\min }\limits_{y \in Y(x)} \;\mu _{\bar G_1 } (x,y) \geqslant \alpha } \right\} \subset X.$

Если $X_\alpha = \varnothing$ , то $H_{1}<\alpha$ , и, следовательно, игрок 1 не может гарантировать достижение своей цели со степенью большей или равной $\alpha$ , независимо от того, какое множество стратегий находится в его распоряжении.

Пусть $X_\alpha \ne \varnothing$ , тогда можно заключить, что достижение цели со степенью не менее $\alpha$ можно гарантировать только тогда, когда $\mu _{C_1 } (x) \geqslant \alpha$ при некотором $x\in X_{\alpha}$ .