НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 13: Алгоритмы нечеткой оптимизации

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 36 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Модели нечеткой ожидаемой полезности

При описании индивидуального принятия решения в рамках классического подхода, наряду с моделями математического программирования, широко применяются теория статистических решений и теория ожидаемой полезности. Последняя предназначена для анализа решений, когда неопределенность обусловлена отсутствием объективной физической шкалы для оценки предпочтительности альтернатив. В этих случаях используется субъективная шкала полезности лица, принимающего решение (ЛПР). В реальных ситуациях исходы, соответствующие принятым решениям (состояниям системы), являются подчас неточными, что влечет за собой размытость соответствующих им оценок функции полезности. Размытый вариант ожидаемой полезности формулируется, например, в модели, где выделяются и одновременно учитываются как случайные, так и нечеткие составляющие неопределенности. Выбор происходит на основе максимизации нечеткой ожидаемой полезности

$ER_j = \sum\limits_{i = 1}^n {\tilde p_i F(s_i ,a_j ,b_k )} ,$

где $\tilde p_i$ — размытая вероятность состояния $s_{i}$ из множества состояний мира $S,\;F:\quad S \times A \times B \to \wp (R)$ , $A=\{a\}$ — множество альтернатив, $B=\{b\}$ — множество критериев,

— множество оценок, а $\wp (R) = \{ \mu _R \;|\;\mu _R :\;R \to [0,1]\}$ — класс всех нечетких подмножеств на множестве оценок

.

Существуют модели, в которых описываются нечеткие лотереи, нечеткие деревья предпочтения, нечеткие байесовские оценки и т.п., где неполнота информации о законе распределения вероятности моделируется с использованием нечетких чисел и лингвистических вероятностей.

Например, задача анализа решений формулируется следующим образом. Пусть имеются две обычные вероятности лотереи: $A = \left[ {pu_{A_1 } ,\;(1 - p)u_{A_2 } } \right]$ , где — вероятность исхода с ожидаемой полезностью $u_{A_1 }$ и (1-p) — вероятность исхода с ожидаемой полезностью $u_{A_2 }$ , а $B = \left[ {qu_{B_1 } ,\;(1 - q)u_{B_2 } } \right]$ , где — вероятность исхода с ожидаемой полезностью $u_{B_1 }$ , (1-q) — вероятность исхода с ожидаемой полезностью $u_{B_2 }$ . Из теории ожидаемой полезности следует, что $A \succ B$ , если

$pu_{A_1 } , + (1 - p)u_{A_2 } > qu_{B_1 } + \;(1 - q)u_{B_2 } .$

Будем считать, что вероятности и и ожидаемые полезности $u_{A_1 } ,\;u_{A_2 } ,\;u_{B_1 } ,\;u_{B_2 }$ точно не известны, т.е. введем

$\mu _P :\;P \to [0,1],\quad \mu _Q :\;Q \to [0,1],\quad \mu _U :\;U \to [0,1].$

Тогда, в соответствии с принципом обобщения, степени принадлежности альтернатив и множествам нечетких ожидаемых полезностей в нечетких лотереях и соответственно вычисляются

$\begin{gathered} \mu _A (a) = \mathop {\max }\limits_{pu_{A1} + (1 - p)u_{A2} = a} \;\left[ {\min \{ \mu _P (p),\;\mu _{A_1 } (u_{A_1 } ),\;\mu _{A_2 } (u_{A_2 } )\} } \right], \\ \mu _B (b) = \mathop {\max }\limits_{qu_{B1} + (1 - q)u_{B2} = b} \;\left[ {\min \{ \mu _P (p),\;\mu _{B_1 } (u_{B_1 } ),\;\mu _{B_2 } (u_{B_2 } )\} } \right]. \\ \end{gathered}$