Базисные схемы обработки информации

Функции на пространстве последовательностей

Еще одной ситуацией, в которой общая схема итерации значительно упрощается, является задача вычисления индуктивных функций. Такие функции определены на последовательностях элементов из некоторого алфавита . Напомним важнейшие из определений "Высказывания и предикаты" .

Алфавит — произвольное непустое множество.

Символом алфавита называют любой его элемент, а цепочкой над алфавитом — произвольную последовательность символов . Цепочки часто называют также словами, фразами и предложениями. Пустая цепочка обозначается специальным символом , а множество всех цепочек над алфавитом принято обозначать .

Длиной цепочки называется количество входящих в нее символов. Множество всех цепочек длины не менее обозначают через . Справедлива следующая последовательность включений:

Операция конкатенации (или сцепления ) двух цепочек определена следующем образом. Пусть , , тогда .

Теперь можно дать определение индуктивной функции.

Определение 7.4. Функция называется индуктивной, если можно вычислить, зная и , т.е. если такое, что .

Одним из простейших примеров индуктивной функции является функция длина цепочки . Она индуктивна, так как для нее существует функция , определенная формулой , удовлетворяющая предыдущему определению.

Для вычисления значения индуктивной функции на цепочке применяется следующая схема.

Схема вычисления индуктивной функции.

Рассматривается последовательность цепочек , , , , . Сначала вычисляется значение функции на пустой цепочке , а затем используется отображение , позволяющее найти значение функции на удлиненной цепочке, что дает возможность последовательно определить все требуемые величины вплоть до .

На рис. 7.5 приведена графическая иллюстрация схемы вычисления индуктивной функции.

Рис. 7.5. Схема вычисления индуктивной функции

Схема вычисления индуктивной функции напоминает метод доказательства по индукции. Аналогом базы индукции является вычисление , а индуктивному переходу соответствует вычисление функции на удлиненной цепочке с использованием вычисленного на предыдущем шаге значения .

Схема вычисления индуктивной функции позволяет легко построить программу вида "S0;while(e)S;", получающую на каждой следующей итерации цикла очередной элемент цепочки (последовательности) , которая находит значение . Инвариантом данного цикла является , условием продолжения — , S0 должно вычислять , а S — быть программной реализацией функции .

Простым и полезным примером, иллюстрирующим схему вычисления индуктивной функции, является задача нахождения значения многочлена, заданного последовательностью его коэффициентов.

Задача 7.6. Напишите программу, определяющую значение в целой точке многочлена, заданного последовательностью его целых коэффициентов (в порядке убывания степеней).

Заметим, что

Текст программы

public class Pol {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        int t = Xterm.inputInt("t -> ");
        int y = 0;
        try {
            while (true) {
                int x = Xterm.inputInt("x -> ");
                y = t*y + x;
            }
        } catch (Exception e) {
            Xterm.println("\ny = " + y);
        }	    
    }
}

Этот эффективный метод вычисления значения многочлена в точке носит имя схемы Горнера.

Методы доказательства правильности программ, построенных с помощью схемы вычисления индуктивных функций, и обобщение этой схемы, позволяющее применять аналогичный подход для функций, не являющихся индуктивными, будут рассмотрены ниже в "Индуктивные функции на пространстве последовательностей" .