НОУ ИНТУИТ | Компьютерное моделирование. Лекция 6: Обработка результатов имитационного эксперимента

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 50 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

5.6. Критерий Вилькоксона

Как и в предыдущем случае решается следующая задача. Имеются две серии независимых наблюдений однородных случайных величин и , причем значения $x_{i}$ и $y_{i}$ дают различные значения средних $(\overline{x}\ne\overline{y})$ или (и) различные рассеивания. Возникает вопрос: можно ли считать эти расхождения существенными или расхождения зависят от случайных выборок?

Простой в употреблении и вполне приемлемый по точности критерий для проверки гипотезы о тождественности функций распределения F(x) и F(y) предложил в середине прошлого века Вилькоксон. Критерий назван его именем.

Рассматривается нулевая гипотеза: F(x) = F(y) . Конкурирующая гипотеза: F(x) <F(y) .

Критерий основан на подсчете числа инверсий. Инверсии определяются так.

Измеренные значения $x_{i}$ и $y_{i}$ , $i = \overline{1, N}$ располагаются в общую последовательность в порядке возрастания их значений. Пусть это будет, например, так:

$y,x,x_{2},y_{2},y_{3},y_{4},x_{3},y_{5},y_{6},x_{4},$

где $x _{1} \ldots x_{4}$ - члены, принадлежащие первой выборке;

$y _{1} \ldots y_{6}$ - члены второй выборки. Эта последовательность - не убывающая, содержащая m + n чисел, - количество чисел последовательности , - последовательности .

Если гипотеза F(x) = F(y) верна, то достаточно очевидно, что числа из обеих последовательностей хорошо перемешиваются. Степень перемешивания определяется числом инверсий членов первой последовательности относительно второй. Если в упорядоченной общей последовательности некоторому предшествует одно значение , это означает, что имеет место одна инверсия.

Если некоторому предшествуют значений , то это значение имеет инверсий.

Для нашего примера член $x _{1}$ имеет одну инверсию с $y _{1}$ ; член $x_{2}$ - тоже одну с $y _{1}$ ; член $x_{3}$ имеет четыре инверсии (с $y _{1},y_{2}, y_{3}, y_{4}$ ); член $x_{4}$ имеет шесть инверсий (с $y _{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5}, y_{6}$ ).

Таким образом, общее число инверсий:

$\overline{u} = 1 + 1 + 4 + 6 = 12.$

Показано, что случайная величина уже при m + n > 20 и $\min(m, n) \ge 3$ дает хорошее приближение к нормальному распределению с матожиданием и дисперсией:

$M[u]=\cfrac{m-n}{2},\,\,\, D[u]=\cfrac{m\cdot n}{12}(m+n+1),\,\,\, \sigma_u=\sqrt{D[u]}$

При уровне значимости и нормальности распределения вероятность попадания значения в критическую область (что означает не подтверждение нулевой гипотезы) равна:

$P\{|M[u]-\overline{u}|>t_{\alpha}\sigma_u\}=q=1=2\Phi(t_{\alpha}),\\ P\{|M[u]-\overline{u}|>t_{\alpha}\sigma_u\ > \overline{u} > M[u]+t_{\alpha}\sigma_{u}}\}=q.$

Отсюда следует, что левая критическая граница и правая критическая граница (рис. 5.3) равны соответственно:

$u_1=M[u]-t_{\alpha}\sigma_{u},\,\,\,u_2=M[u]+t_{\alpha}\sigma_{u}.$

$Левая и правая критические границы функции /(и) Значение t _{\alpha }определяется так:$

Рис. 5.3. Левая и правая критические границы функции /(и) Значение t _{\alpha }определяется так:

$1-2\Phi(t_{\alpha})=q;\,\,\, 2\Phi(t_{\alpha})=1-q;\,\,\, \Phi(t_{\alpha})\cfrac{1-q}{2};\,\,\, t_{\alpha}=\Phi^{-1}\left ( \cfrac{1-q}{2}\right ).$

$\Phi(t _{\alpha})$ - функция Лапласа, с которой мы встречались ранее, она табулирована. Наиболее актуальные соответствия уровней значимости и аргументов функции Лапласа $t_{\alpha}$ указаны в табл. 5.4

Таблица 5.4. Уровни значимости и аргументы функции Лапласа
	2	5	10
$t_{\alpha}$	2,33	1,96	1,65

Пример 5.4. С целью проверки адекватности модели центра коммутации сообщений измерено время задержки передачи сообщений на модели центра и непосредственно на самом центре. Результаты измерений сведены в табл. 5.5.

Таблица 5.5. Результаты измерений задержки сообщений
, сек	0,8	1,9	3,0	3,5	3,8	2,5	1,7	0,9	1,0	2,3
, сек	1,4	2,1	3,1	3,6	2,7	1,8	1,1	0,2	1,6	2,8

Последовательность - отклики модели, - данные, измеренные на центре. Проверка адекватности модели состоит в проверке нулевой гипотезы, то есть в том, что данные измерений идентичны в статистическом смысле. Решение

Составим в порядке возрастания общую последовательность времен задержек и (табл. 5.6).

Таблица 5.6. Общая последовательность времен задержек сообщений
$y_{1}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$y_{4}$	$x_{4}$	$y_{5}$	$x_{5}$
0,2	0,8	0,9	1,0	1,1	1,4	1,6	1,7	1,8	1,9
$y_{6}$	$x_{6}$	$x_{7}$	$y_{7}$	$y_{8}$	$x_{8}$	$y_{9}$	$x_{9}$	$y_{10}$	$x_{10}$
2,1	2,3	2,5	2,7	2,8	3,0	3,1	3,5	3,6	3,8

Расчет числа инверсий для :

$\overline{u} = 1 + 1 + 1 + 4 + 5 + 6 + 6 + 8 + 9 + 10 = 51.$

Расчет характеристик:

$M[u]=\cfrac{10\cdot 10}{2} = 50 c,\,\,\, D[u]= \cfrac{10\cdot 10}{12}(10+10+1) =175 c^2,\\ \sigma_u=\sqrt{175}=13.23 c$

Примем уровень значимости q = 5% . Тогда $t_{\alpha } = 1,96.$

Правая критическая точка:

$u_{2} =M[u]+t_{\alpha }\sigma _{\alpha } =50 + 1.96?13.23\approx 74 .$

Левая критическая точка:

$u _{1} =M[u]-t_{\alpha }\sigma _{\alpha } =50-1.96\cdot 13.23 \approx 24.$

Проверка гипотезы $Н_{0}$ :

Гипотеза об идентичности распределений времен ожиданий в модели и в объекте не опровергается.

В заключение отметим, что при малых и ( m + n < 20 ) для критерия Вилькоксона составлены таблицы критических точек $u _{1 }$ и $u_{2}$ для различных уровней значимости . Эти таблицы приводятся в широко известных изданиях, например, Б. Л. ван дер Варден "Математическая статистика", Б. В. Гнеденко и др. "Математические методы в теории надежности".