НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 13: Квантовый аналог NP: класс BQNP

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Утверждение 13.3. Задача локальный гамильтониан полна в классе BQNP относительно полиномиальной сводимости.

Идея доказательства восходит к Фейнману [29]: замена унитарной эволюции не зависящим от времени гамильтонианом (т.е. переход от схемы к локальному гамильтониану).

Доказательство. Итак, пусть есть схема размера : $U=U_L\cdot\ldots\cdot U_1$ . Будем считать, что действует на пространстве из q-битов, первые из которых — q-биты подсказки, а остальные — вспомогательные (взятые напрокат на время вычислений); считаем также, что схема состоит из операторов, действующих на парах q-битов.

Гамильтониан, сопоставляемый схеме. Он действует на пространстве

$\calL=\BB^{\otimes N}\otimes \CC^{L+1},$

где первый сомножитель — пространство, на котором действует схема, а второй сомножитель — пространство счетчика шагов (часы). Состоит этот гамильтониан из трех слагаемых

$H=H_{\rm in}+H_{\rm prop}+H_{\rm out}.$

Слагаемое $H_{\rm in}$ отвечает начальному состоянию и равно

$\begin{equation}\label{Hin} H_{\rm in}=\left(\sum_{s=m+1}^{N} \Pi^{(1)}_s\right)\otimes\ket0\bra0, \end{equation}$

( 13.8)

где $\Pi^{(\alpha)}_s$ — проектор на подпространство векторов, у которых

-й бит равен $\alpha$ . Второй сомножитель в этой формуле действует в пространстве счетчика.

Слагаемое $H_{\rm out}$ отвечает конечному состоянию и равно

$\begin{equation}\label{Hout} H_{\rm out}=\Pi^{(0)}_1\otimes\ket{L}\bra{L}, \end{equation}$

( 13.9)

здесь мы считаем, что бит результата — первый.

И, наконец, слагаемое $H_{\rm prop}$ описывает эволюцию системы и состоит, как и следовало ожидать, из слагаемых, каждое из которых отвечает за переход от j-1 к :

$\begin{align*} &H_{\rm prop}=\sum_{j=1}^{L} H_j,\nonumber\\ &H_j =-\frac{1}{2} U_j\otimes\ket{j}\bra{j{-}1}-\frac{1}{2}U_j^\dagger\otimes \ket{j{-}1}\bra{j}+\frac{1}{2}I\otimes \bigl(\ket{j}\bra{j}+\ket{j{-}1}\bra{j{-}1}\bigr). \label{Hjterms} \end{align*}$

( 13.10)

Каждое слагаемое H_j действует на два q-бита из пространства состояний и на q-биты пространства счетчика.

Замена базиса. Произведем замену базиса, задаваемую оператором

$W=\sum_{j=0}^{L} U_j\cdot\ldots\cdot U_1\otimes \ket{j}\bra{j}.$

Полезно обратить внимание на то, что

— измеряющий оператор: измеряется значение счетчика

и к q-битам пространства состояний схемы применяется оператор эволюции за время

.

Гамильтониан при такой замене изменится на сопряженный: $\tH \double= W^\dagger HW$ . Посмотрим, как действует сопряжение оператором на слагаемые .

На слагаемое $H_{\rm in}$ сопряжение не влияет:

$\begin{equation}\label{conj-init} \tH_{\rm in}=W^\dagger H_{\rm in} W = H_{\rm in}. \end{equation}$

( 13.11)

Действие на слагаемое $H_{\rm out}$ :

$\begin{equation}\label{conj-fin} \tH_{\rm out}= W^{\dagger} H_{\rm out} W = \left(U^\dagger \Pi^{(0)}_1 U\right)\otimes \ket{L}\bra{L}. \end{equation}$

( 13.12)

Слагаемое H_j состоит из трех. Вначале запишем действие сопряжения на первое из слагаемых в (13.10):

$\begin{multiline*} W^\dagger \left(-\frac{1}{2} U_j\otimes \ket{j}\bra{j-1}\right)W =\\= -\frac{1}{2} \sum_{u,t} \bigl(U_u\cdot\ldots\cdot U_1\otimes\ket{u}\bra{u}\bigr)^\dagger \bigl(U_j\otimes\ket{j}\bra{j-1}\bigr) \bigl(U_t\cdot\ldots\cdot U_1\otimes\ket{t}\bra{t}\bigr)=\\ = -\frac{1}{2} \left((U_j\cdot\ldots\cdot U_1)^\dagger U_j \cdot\ldots\cdot U_1\right) \otimes \left( \bigl(\ket{j}\bra{j}\bigr)^\dagger\, \ket{j}\bra{j-1}\; \bigl(\ket{j-1}\bra{j-1}\bigr)\right)=\\= -\frac{1}{2} I\otimes \ket{j}\bra{j-1}. \end{multiline*}$

Сопряжение двух других слагаемых происходит аналогично, в итоге получаем

$\begin{multiline*} \tH_j=W^\dagger H_j W=\\= I\otimes \frac{1}{2}\Bigl( \ket{j-1}\bra{j-1}-\ket{j-1}\bra{j}-\ket{j}\bra{j-1}+\ket{j}\bra{j} \Bigr)=I\otimes E_j \end{multiline*}$

и

$\begin{equation}\label{conj-prop} \tH_{\rm prop}=W^\dagger H_{\rm prop} W=I\otimes E, \end{equation}$

( 13.13)

где

Оценка собственного числа при ответе "да". Предположим, что схема, на вход которой подан вектор $\ket\xi$ , дает ответ 1 с вероятностью не меньше, чем $1-\eps$ . Это, по определению, означает, что

$\PP(0)=\langle \xi,0|\, U^\dagger \Pi^{(0)}_1U\, |\xi,0\rangle\leq\eps.$

Докажем, что в этом случае у $\tH$ (а, значит, и у ) есть малое собственное число. Для этого предъявим такой вектор $\ket\weta$ , что $\langle \weta|\,\tH\,|\weta\rangle$ достаточно мало (минимум квадратичной формы $\langle \cdot|\,\tH\,|\cdot\rangle$ достигается на собственном векторе).

В пространстве счетчика выберем вектор

$\begin{equation}\label {psidef} \ket\psi=\frac{1}{\sqrt{L+1}}\sum_{j=0}^{L}\ket{j}. \end{equation}$

( 13.14)

Искомый вектор $\ket\weta$ равен $\ket{\xi,0}\otimes\ket\psi$ . Оценим $\langle \weta|\,H\,|\weta\rangle$ .

Очевидно, что $E\ket\psi=0$ . Поэтому

$\langle \weta|\,\tH_{\rm prop}\,|\weta\rangle=0= \langle \weta|\,\tH_j\,|\weta\rangle.$

Поскольку все вспомогательные q-биты вначале установлены в 0, то непосредственно из определяющей формулы (13.8) получаем

$\langle \weta|\,\tH_{\rm in}\,|\weta\rangle=0.$

Осталось оценить последнее слагаемое

$\langle \weta|\,\tH_{\rm out}\,|\weta\rangle= \langle \weta|\, \left(U^\dagger \Pi^{(0)}_1 U\right)\otimes \ket{L}\bra{L} \,|\weta\rangle=\PP(0)\cdot\frac{1}{L+1}\leq\frac{\eps}{L+1}.$

Итак, мы доказали, что

$\langle \weta|\,\tH\,|\weta\rangle \leq \frac{\eps}{L+1},$

поэтому у

есть собственное число с такой же верхней оценкой.

Оценка собственного числа при ответе "нет". В этом случае нам нужно доказать, что все собственные числа велики. Пусть для любого вектора $\ket\xi$ вероятность ответа 1 не превосходит $\eps$ , т.е.

$\langle \xi,0|\, U^\dagger\Pi^{(0)}_1 U\,|\xi,0\rangle\geq 1-\eps.$

Докажем, что в этом случае все собственные числа

больше либо равны $c(1-\sqrt{\eps})L^{-3}$ , где

— некоторая константа.

Доказательство довольно длинное, поэтому вначале приведем его краткий план. Представив гамильтониан в виде суммы $\tH=A_1+A_2$ операторов $A_1\double=\tH_{\rm in}+\tH_{\rm out}$ и $A_2\double=\tH_{\rm prop}$ , мы оценим снизу наименьшие ненулевые собственные числа A_1 и A_2 по отдельности. Получим оценки и $c'L^{-2}$ соответственно. Чтобы оценить наименьшее собственное число A_1+A_2 , нам потребуется лемма, которая дает такую оценку для суммы через оценки для слагаемых и угол между их нулевыми подпространствами. Углом между подпространствами $\calL_1$ и $\calL_2$ с нулевым пересечением будем называть величину $\vt(\calL_1,\calL_2)$ , задаваемую условиями

$\begin{equation}\label{уголопр} \cos\vt(\calL_1,\calL_2)=\mkern-2mu\max\limits_{\begin{array}{l} \scriptstyle\ket{\eta_1}\in \calL_1\\[-2pt] \scriptstyle\ket{\eta_2}\in \calL_2\end{array}}\mkern-2mu \big|\langle \eta_1\ket{\eta_2}\big|,\qquad 0<\vt(\calL_1,\calL_2)<\frac{\pi}{2}. \end{equation}$

( 13.15)

Дальше >>

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые вычисления

Квантовый аналог NP: класс BQNP

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые вычисления

Квантовый аналог NP: класс BQNP

Вопросы и ответы

Студенты