Квантовый аналог NP: класс BQNP
Утверждение 13.3. Задача локальный гамильтониан полна в классе BQNP относительно полиномиальной сводимости.
Идея доказательства восходит к Фейнману [29]: замена унитарной эволюции не зависящим от времени гамильтонианом (т.е. переход от схемы к локальному гамильтониану).
Доказательство. Итак, пусть есть схема размера :
. Будем считать, что
действует на пространстве из
q-битов, первые
из которых — q-биты подсказки, а остальные — вспомогательные (взятые напрокат на время вычислений); считаем также, что схема состоит из операторов, действующих на парах q-битов.
Гамильтониан, сопоставляемый схеме. Он действует на пространстве


Слагаемое отвечает начальному состоянию и равно
![]() |
( 13.8) |



Слагаемое отвечает конечному состоянию и равно
![]() |
( 13.9) |
И, наконец, слагаемое описывает эволюцию системы и состоит, как и следовало ожидать, из
слагаемых, каждое из которых отвечает за переход от
к
:
![]() |
( 13.10) |
Каждое слагаемое действует на два q-бита из пространства состояний и на q-биты пространства счетчика.
Замена базиса. Произведем замену базиса, задаваемую оператором




Гамильтониан при такой замене изменится на сопряженный: . Посмотрим, как действует сопряжение оператором
на слагаемые
.
На слагаемое сопряжение не влияет:
![]() |
( 13.11) |
Действие на слагаемое :
![]() |
( 13.12) |
Слагаемое состоит из трех. Вначале запишем действие сопряжения на первое из слагаемых в (13.10):


![]() |
( 13.13) |
Оценка собственного числа при ответе "да". Предположим, что схема, на вход которой подан вектор , дает ответ 1 с вероятностью не меньше, чем
. Это, по определению, означает, что

Докажем, что в этом случае у (а, значит, и у
) есть малое собственное число. Для этого предъявим такой вектор
, что
достаточно мало (минимум квадратичной формы
достигается на собственном векторе).
В пространстве счетчика выберем вектор
![]() |
( 13.14) |



Очевидно, что . Поэтому





Оценка собственного числа при ответе "нет". В этом случае нам нужно доказать, что все собственные числа велики. Пусть для любого вектора вероятность ответа 1 не превосходит
, т.е.




Доказательство довольно длинное, поэтому вначале приведем его краткий план. Представив гамильтониан в виде суммы операторов
и
, мы оценим снизу наименьшие ненулевые собственные числа
и
по отдельности. Получим оценки
и
соответственно. Чтобы оценить наименьшее собственное число
, нам потребуется лемма, которая дает такую оценку для суммы через оценки для слагаемых и угол между их нулевыми подпространствами. Углом между подпространствами
и
с нулевым пересечением будем называть величину
, задаваемую условиями
![]() |
( 13.15) |