НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 12: Быстрые квантовые алгоритмы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Построение измеряющего оператора.

Теперь будем строить оператор, измеряющий собственные числа U_a . Как уже было сказано, можно ограничиться изучением действия этого оператора на вход $\ket{\xi_{a,k}}$ . Построение разделяется на три этапа.

Ищем информацию о $\lambda_k=e^{2\pi\ii\varphi_k}$ , где
$\varphi_k=\frac{k}{t}\bmod1$
.
Локализуем значение $\ph$ с небольшой точностью. Самое время подчеркнуть, что во всех приводимых рассуждениях есть два параметра: вероятность ошибки $\eps$ и точность $\delta$ . Мы получаем некоторое число как результат измерения, при этом должно выполняться условие $\Prob[|z-\ph_k|>\delta]\le\eps$ . Пока нас устроит небольшая точность, скажем, $\delta=1/8$
Далее нужно увеличить точность. Необходимо уметь отличать друг от друга числа вида $\ph=\slashfrac{k}t$ , где $0\le k<t<2^n$ . Заметим, что если $\slashfrac{k_1}{t_1}\ne\slashfrac{k_2}{t_2}$ , то $\left|\slashfrac{k_1}{t_1}-\slashfrac{k_2}{t_2}\right|\ge\slashfrac{1}{t_1t_2} >\slashfrac{1}{2^{2n}}$ . Поэтому, зная значение $\ph_k=\slashfrac{k}{t}$ с точностью $\slashfrac1{2^{2n+1}}$ , мы можем определить его абсолютно точно (в виде несократимой дроби). Чтобы сделать это эффективно (за полиномиальное время), можно использовать алгоритм цепных дробей.

Как получать информацию о собственном числе.

В "Измеряющие операторы" был введен оператор $\Xi(U_a)\double=(H\otimes I)\Lambda(U_a)(H\otimes I)$ , измеряющий собственные числа. В нашем случае $\lambda_k=e^{2\pi\ii\ph_k}$ , поэтому можно записать этот оператор в виде

$\Xi(U_a) =\sum\limits_{k}^{} V_{a,k}\otimes\Pi_{\calL_{a,k}},\quad V_{a,k}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+e^{2\pi\ii\ph_k}&1-e^{2\pi\ii\ph_k}\\1-e^{2\pi\ii\ph_k}&1+e^{2\pi\ii\ph_k} \end{pmatrix},$

а его действие в виде

$\ket{0}\otimes\ket{\xi_k}\ \stackrel{\Xi(U_a)}{\longmapsto}\ \left( \frac{1+e^{2\pi\ii\ph_k}}{2}\ket{0}+ \frac{1-e^{2\pi\ii\ph_k}}{2}\ket{1} \right) \otimes \ket{\xi_k},$

так что для условных вероятностей получаем выражение

$\PP(0\big| k)=\left|\frac{1+e^{2\pi\ii\ph_k}}{2}\right|^2 =\frac{1+\cos(2\pi\ph_k)}{2}.$

Нам потребуется еще оператор $\Xi(\ii U_a)$ . Его также нетрудно реализовать. Реализация, изображенная на рисунке, использует оператор $K\double=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\ii\end{pmatrix}$ из стандартного базиса. Обведенный фрагмент реализует оператор $\Lambda(\ii U_a)$ . Действительно, умножает на $\ii$ только $\ket1$ , но как раз в этом случае применяется оператор U_a (по определению оператора $\Lambda(U_a)$ ). Для оператора $\Xi(\ii U_a)$ условные вероятности равны

$\PP(0\big| k)=\frac{1-\sin(2\pi\ph_k)}{2}.$

Сложность реализации операторов $\Xi(U_a)$ и $\Xi(\ii U_a)$ зависит от сложности реализации оператора $\Lambda(U_a)$ , которая ненамного выше сложности реализации оператора U_a (см. задачу 12.2).

Оценка условных вероятностей.

Мы будем локализовывать значение $\ph_k$ , оценивая условные вероятности, приведенные выше. Для получения такой оценки будем применять операторы $\Xi(U_a)$ и $\Xi(\ii U_a)$ к различным "приборам" (дополнительным q-битам). Рассуждения одинаковы для обоих операторов, поэтому ограничимся случаем $\Xi(U_a)$ .

У нас есть квантовый регистр , в котором находится $\ket{\xi_{a,k}}$ . (На самом деле там вначале был

$\ket1=\frac{1}{\sqrt{t}}\sum_{k=0}^{t-1}\ket{\xi_k},$

но мы рассматриваем $\ket{\xi_{a,k}}$ по отдельности; это корректно в силу вида измеряющего оператора). Заведем большое количество (

штук) вспомогательных регистров длиной в 1 бит. Каждый из этих регистров будет использоваться для применения оператора $\Xi(U_a)$ .

Как было доказано в "Измеряющие операторы" , условные вероятности в таком случае перемножаются. Для оператора

$\prod\limits_{r=1}^s \Xi(U_a)[r,A]$

условные вероятности будут равны $\PP(y_1,\dots, y_s\big| k)=\prod\limits_{r=1}^{s} \PP(y_r\big| k)$ (здесь через y_r

обозначено значение в

-ом бите).

Далее с битами, в которых записаны результаты "экспериментов", будут уже производиться классические действия. Поскольку условные вероятности перемножаются, можно считать, что мы оцениваем вероятность выпадения 1 в серии испытаний Бернулли.

Если монета брошена раз, то доля выпавших единиц $(\sum y_r)/s$ примерно равна $\PP(1\big| k)$ . С какой точностью верна такая оценка? Из теории вероятностей известно, что

$\Prob\left[\left|\frac{\sum\nolimits_{r=1}^{s}y_r}{s}-\PP(1\big|k)\right| >\delta\right]<2e^{-c\delta^{2}s},$

где

— некоторая константа. Это показывает, что при любом фиксированном $\delta$ можно добиться вероятности ошибки $\eps$ за $O(\log(1/\eps))$ испытаний.

Итак, мы научились находить с некоторой точностью $\delta$ синус и косинус от $\ph_k$ . Теперь подберем $\delta$ таким, чтобы значение $\ph_k$ можно было установить по значениям синуса и косинуса с точностью 1/8 . На этом второй этап завершен.

Дальше >>

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые вычисления

Быстрые квантовые алгоритмы

Построение измеряющего оператора.

Как получать информацию о собственном числе.

Оценка условных вероятностей.

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые вычисления

Быстрые квантовые алгоритмы

Построение измеряющего оператора.

Как получать информацию о собственном числе.

Оценка условных вероятностей.

Вопросы и ответы

Студенты