НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 1: Что такое алгоритм?

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Схемы

Схема (булева) — это способ вычислить функцию $f\colon\cb^n\double\to\cb^m$ . Помимо исходных переменных $x_1,\dots, x_n$ , для которых вычисляется значение , схема использует некоторое количество вспомогательных переменных $y_1,\dots, y_s$ и некоторый набор ( базис ) булевых (т.е. принимающих значения 0 или 1) функций $\cal F$ . Схема в базисе $\cal F$ определяется последовательностью присваиваний $Y_1,\dots, Y_s$ . Каждое присваивание Y_i имеет вид $y_i:=f_j(u_{k_1},\dots,u_{k_r})$ , где $f_j(\cdot)\in\cal F$ , а переменная $u_{k_p}$ ( $1\leq p\leq r$ ) — это либо одна из исходных переменных x_t ( $1\leq t\leq n$ ), либо вспомогательная переменная y_l с меньшим номером ( $1\leq l<i$ ). Таким образом, для каждого набора значений исходных переменных последовательное выполнение присваиваний, входящих в схему, однозначно определяет значения всех вспомогательных переменных. Результатом вычисления считаются значения последних переменных $y_{s-m+1},\dots,y_s$ .

Схема вычисляет функцию , если для любых значений $x_1,\dots,x_n$ исходных переменных результатом вычисления является $f(x_1,\dots,x_n)$ .

Схема называется формулой, если каждая вспомогательная переменная используется в правой части присваиваний только один раз. (Обычные математические формулы именно так задают последовательность присваиваний: "внутри" формул не принято использовать ссылки на их части или другие формулы.)

Схему можно также представлять в виде ориентированного ациклического графа, у которого вершины входной степени 0 ( входы ) помечены исходными переменными; остальные вершины ( функциональные элементы ) помечены функциями из базиса (при этом входная степень вершины должна совпадать с количеством аргументов ее пометки); ребра помечены числами, указывающими номера аргументов; вершины выходной степени 0 ( выходы ) помечены переменными, описывающими результат работы схемы. Вычисление на графе определяется индуктивно: как только известны значения всех вершин $y_1,\dots,y_{k_v}$ , из которых ведут ребра в данную вершину , вершина получает значение $y_v\double=f_v(y_1,\dots,y_{k_v})$ , где f_v — базисная функция, которой помечена вершина. При переходе к графу схемы мы опускаем несущественные присваивания, которые ни разу не используются на пути к выходным вершинам, так что они никак не влияют на результат вычисления.

Базис называется полным, если для любой булевой функции есть схема в этом базисе, вычисляющая . Ясно, что в полном базисе можно вычислить произвольную функцию $f\colon\cb^n\to\cb^m$ (такую функцию можно представить как упорядоченный набор из булевых функций).

Булева функция может быть задана таблицей значений. Приведем таблицы значений для трех функций

$\NOT(x)=\neg x,\ \OR(x_1,x_2)= x_1\vee x_2,\ \AND(x_1,x_2)=x_1\wedge x_2$

( отрицание, дизъюнкция, конъюнкция ), образующих полный базис, который будем считать стандартным. В дальнейшем имеются в виду схемы именно в этом базисе, если явно не указано что-либо иное.

$\begin{array}{c|cccc|cccc|c} x&\NOT&\quad& x_1&x_2&\OR&\quad& x_1&x_2&\AND\\ \cline{1-2}\cline{4-6}\cline{8-10} 0&1 &\quad& 0&0&0 &\quad& 0&0&0\\ 1&0 &\quad& 0&1&1 &\quad& 0&1&0\\ \multicolumn{2}{c}{} &\quad& 1&0&1 &\quad& 1&0&0\\ \multicolumn{2}{c}{} &\quad& 1&1&1 &\quad& 1&1&1\\ \end{array}$

Конъюнкция и дизъюнкция определяются для произвольного числа булевых переменных аналогичным образом: конъюнкция равна 1 только тогда, когда все аргументы равны 1, а дизъюнкция равна 0 только тогда, когда все аргументы равны 0. В стандартном базисе они очевидным образом вычисляются схемами (и даже формулами) размера n-1 .

Теорема 1.1. Базис $\{\NOT,\OR,\AND\}$ — полный.

Доказательство. Литералом будем называть переменную или ее отрицание. Конъюнкцией литералов (это схема и даже формула) легко представить функцию $\chi_u(x)$ , которая принимает значение 1 ровно один раз: при x=u . Если u_i=1 , включаем в конъюнкцию переменную x_i , если u_i=0 , то включаем в конъюнкцию $\neg x_i$ . Произвольная функция может быть представлена в виде

$f(x)=\bigvee_{u: f(u)=1}\chi_u(x).$

( 1.1)

В таком случае говорят, что представлена в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), т.е. как дизъюнкция конъюнкций литералов^{2Далее нам еще потребуется и конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — конъюнкция дизъюнкций литералов.} Как уже говорилось, дизъюнкция нескольких переменных выражается формулой в стандартном базисе.

Размером схемы называется количество присваиваний в схеме. Минимальный размер схемы в базисе $\cal F$ , вычисляющей функцию , называется схемной сложностью функции в базисе $\cal F$ и обозначается $c_\cal F(f)$ . Переход от одного полного конечного базиса к другому полному конечному базису меняет схемную сложность функций на множитель O(1) . Так что в асимптотических оценках выбор конкретного полного базиса неважен и поэтому будем использовать обозначение c(f) для схемной сложности в конечном полном базисе.

Каждый предикат на множестве $\cb^*$ определяет последовательность булевых функций $f_n\colon \cb^n\to\cb$ следующим образом: $f_n(x_1,x_2,\dots,x_n)= f(x_1x_2\dots x_n)$ , где справа стоит характеристическая функция предиката .

Определение 1.5. Предикат принадлежит классу P/poly , если $c(f_n)=\poly(n)$ .

Теорема 1.2. $\P\subset P/poly$ .

Если МТ работает за полиномиальное время, то и память, которую она использует, ограничена полиномом. Поэтому весь процесс вычисления на входном слове длины можно представить таблицей вычисления размера $T\times S$ , где $T= \poly(n)$ , $S= \poly(n)$ .

Рис. 1.1.

Строка с номером таблицы задает состояние МТ после тактов работы. Символы $\Gamma_{j,k}$ , записанные в таблице, принадлежат алфавиту $\cal S\times\{\emptyset\cup\cal Q\}$ . Символ $\Gamma_{j,k}$ определяет пару (символ, записанный в -й ячейке после тактов работы; состояние управляющего устройства после тактов работы, если головка находится над -й ячейкой, в противном случае второй элемент пары — $\emptyset$ ). Для простоты также считаем, что если вычисление заканчивается при некотором входе за T'<T тактов, то строки c номерами, большими , повторяют строку с номером .

Построить схему, вычисляющую значения предиката на словах длины , можно следующим образом. Состояние каждой клетки таблицы можно закодировать конечным (не зависящим от ) числом булевых переменных. Имеются локальные правила согласования, т.е. состояние каждой клетки $\Gamma$ в строке ниже нулевой однозначно определяется состояниями клеток в предыдущей строке, лежащих непосредственно над данной ( $\Gamma'$ ), левее данной ( $\Gamma'_л$ ) и правее данной ( $\Gamma'_п$ ). Каждая переменная, кодирующая состояние клетки $\Gamma$ , есть функция от переменных, кодирующих состояния клеток $\Gamma'_л$ , $\Gamma'$ , $\Gamma'_п$ . Все эти функции могут быть вычислены схемами конечного размера. Объединяя эти схемы, получим схему, вычисляющую все переменные, кодирующие состояния клеток таблицы; размер этой схемы будет $O(ST)=O(n^{O(1)})$ .

Осталось заметить, что переменные, кодирующие часть клеток нулевой строки, определяются входным словом, а переменные, кодирующие остальные клетки нулевой строки, являются константами. Чтобы узнать результат вычисления, нужно определить символ, записанный в нулевой ячейке ленты в конце вычисления. Без ограничения общности можно считать, что состояния клеток таблицы кодируются так, что одна из кодирующих переменных равна 1 только в том случае, когда в ячейке записана 1. Тогда значение этой переменной для кода $\Gamma_{T,0}$ и будет результатом вычисления.

Замечание 1.1. Класс P/poly шире класса . Любой функции от натурального аргумента $\varphi(n)$ со значениями в $\cb$ можно сопоставить предикат $f_\varphi$ по правилу $f_\varphi(x)=\varphi(|x|)$ , где |x| обозначает длину слова . Ограничение такого предиката на слова длины тождественно равно 0 или 1 (в зависимости от ). Схемная сложность таких функций ограничена константой. Поэтому все такие предикаты по определению принадлежат P/poly, хотя среди них есть и неразрешимые предикаты.

Справедливо следующее усиление теоремы.

Теорема 1.3. принадлежит $\P$ тогда и только тогда, когда

$f\in P/poly$
существует МТ, которая по числу за время $\poly(n)$ строит схему вычисления .

Доказательство. $\Longrightarrow$ Данное в доказательстве теоремы 1.2. описание нетрудно превратить в МТ, которая строит схему вычисления f_n за полиномиальное по время (схема f_n имеет простую структуру: каждая переменная связана с предыдущими одними и теми же правилами согласования).

$\Longleftarrow$ Столь же просто. Вычисляем размер входного слова. Затем строим по этому размеру схему $S_{|x|}$ вычисления $f_{|x|}$ , используя указанную в условии 2 машину. После этого вычисляем $S_{|x|}(x)$ на машине, которая по описанию схемы и значениям входных переменных вычисляет значение схемы за полиномиальное от длины входа время.