Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Лекция 8: Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах. Седловая точка и задача нелинейного программирования. Применение теоремы Куна – Таккера для задачи выпуклого программирования

A

|

версия для печати

Теорема Куна-Таккера. Выше найдены условия оптимальности (1.9), (1.10) для задачи НП с линейными ограничениями. Обобщим эти условия на случай задачи (1.1), (1.2), когда все ограничения нелинейны.

Условия оптимальности решения задачи НП формулируются в следующей теореме, имеющей исключительно важное значение в теории нелинейного программирования.

Теорема 1.1. (Куна-Таккера). Пусть функции $g_i(x), \; i=\overline{1,m}$ , имеют непрерывные частные производные на некотором открытом множестве Rⁿ, содержащем точку x⁺. Если x⁺ является точкой минимума функции f(x) при ограничениях $g_i(x) \le 0 , \; i=\overline{1,m}$ , удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов $\nabla g_i(x^*)$ , то существуют такие неотрицательные множители Лагранжа $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ , что

$\nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(x^*) = 0,$

( 1.13)

$\sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x^*) = 0, \; \lambda \ge 0, \; i=\overline{1,m}$

( 1.14)

Определим функцию Лагранжа следующим образом:

$L(x, \Lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i (x).$

( 1.15)

Тогда теорему Куна-Таккера можно записать в виде

$\nabla_x L(x, \Lambda) = 0,$

( 1.16)

$\nabla_i L(x, \Lambda) = g(x) \le 0 ,$

( 1.17)

$\Lambda^T \nabla_{\lambda} L(x, \Lambda) = \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i (x) =0.$

( 1.18)

Заметим, что множители Лагранжа $\lambda_i$ в задаче НП с ограничениями-равенствами являются знаконеопределенными, тогда как в теореме Куна-Таккера они должны быть положительными.

Доказательство. При достаточно малых t > 0, разлагая f(x⁺+tz) в ряд Тейлора, получим

$g_i(x^* + tz) = g_i(x^*) + t \nabla g_i^T (x^*) z + o(t^2) = t \nabla g_i^T (x^*) z + o(t^2),$

( 1.19)

где o(t²) - остаточный член второго порядка малости (t²). Пусть I - множество активных ограничений. Тогда

$g_i(x^* + tz) = g_i(x^*) + t \nabla g_i^T (x^*) z + o(t^2) = t \nabla g_i^T (x^*) z + o(t^2),$

так как g_i(x⁺) при $i \in I$ . Заметим, что система неравенств

$\left. \begin{aligned} \nabla f^T (x^*) z < 0, \\ \nabla g_i^T (x^*) z \le 0. \end{aligned} \right\}$

( 1.20-1.21)

несовместна, так как в противном случае при достаточно малом t > 0 для некоторого z получили бы:

$\begin{align*} & f (x^* + tz) < f(x^*) \\ & g_i(x^* + tz) \le 0, \; i \in J. \end{align*}$

что противоречит предположению об оптимальности точки x⁺. Для дальнейшего доказательства воспользуемся леммой, являющейся следствием леммы Фаркаша.

Лемма. При произвольной матрице A выполняется одно из двух условий:

либо выполняется следующая система неравенств:

( 1.22)

либо выполняется следующая система равенств (уравнений):

$\left\{ \begin{aligned} & \Lambda^T A =0 \\ & \Lambda \ge 0, \quad \Lambda \neq 0 \end{aligned} \right.$

( 1.23)

Одновременно условия (2.3.22), (2.3.23) выполняться не могут.

Применим эту лемму к (1.20), (1.21), приняв за матрицу A

$\left[ \begin{aligned} & \nabla f (x^*) \\ & \nabla g_i (x^*) \end{aligned} \right] , \quad i \in I$

Поскольку система (1.20), (1.21) не имеет решений, то существуют такие $\lambda_0 \ge 0, \lambda_1 \ge 0, \ldots, \lambda_m \ge 0$ , что

$\lambda_0 \nabla f(x^*) + \sum_{i \in I} \lambda_i \nabla g_i (x^*) = 0,$

( 1.24)

где

$\left[ \begin{aligned} & \lambda_0 \\ & \lambda_1 \end{aligned} \right] \neq 0.$

Если присвоим $\lambda_i$ значение 0 для $i \in I$ , то получим $\sum_{i = I}^m \lambda_i g_i (x^*) = 0$ . Условие $\sum_{i = I}^m \lambda_i g_i (x^*) = 0$ называют условием дополняющей нежесткости.

Покажем, что $\lambda_0$ в (1.24) не может равняться 0. В самом деле, если допустить, что $\lambda_0 = 0$ , то получим

$\sum_{i \in I} \lambda_i \nabla g_i (x^*) = 0$

( 1.25)

Однако (1.25) противоречит условию теоремы о линейной независимости векторов $\nabla g_i (x^*)$ . Остается принять $\lambda_0 \neq 0$ .. Тогда, разделив обе части (1.24) на $\lambda_0$ , получим

$\nabla f(x^*) + \sum_{i=I}^m \lambda_i \nabla g_i(x^*) = 0$

Следовательно, теорема доказана.

Понятие регулярности было впервые введено Г.Куном и А.Таккером и имеет различные формы. В частном случае, когда все $g_i()x, \; i = \overline{1,m}$ являются выпуклыми функциями, условие регулярности записывается в виде: существует такой вектор x, что g_i(x)<0 для всех $i = \overline{1,m}$ . Это означает, что может существовать хотя бы одна внутренняя точка допустимого множества решений. Это условие называют условием регулярности Слейтера.

Дальше >>

Введение в математическое программирование

Введение в математическое программирование

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в математическое программирование

Введение в математическое программирование

Вопросы и ответы

Студенты