НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое моделирование. Лекция 6: Случайные события, случайные величины. Их законы распределения и числовые характеристики

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Изменение величины параметра $\sigma$ (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием $\sigma$ ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании $\sigma$ ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной".

При этом, при любых значениях $\alpha$ и $\sigma$ площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1).

Нормальное распределение с произвольными параметрами $\alpha$ и $\sigma,$ т. е. описываемое дифференциальной функцией

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}},$

называется общим нормальным распределением.

Нормальное распределение с параметрами $\alpha=0$ и $\sigma=1$ , т. е. описываемое дифференциальной функцией

$\varphy(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x)^2}{2}},$

( 6.6)

называется нормированным распределением (рис. 6.8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:

$f_max \approx 0.4; f_A = f_B \approx 0.24; f_C = f_D \approx 0.0044; f_E = f_G \approx 0.05.$

Рис. 6.8.

Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:

$F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(z-a)^2}{2\sigma^2}}dx,$

( 6.7)

Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:

$F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{z^2}{2}}dz,$

( 6.8)

где

$z=\frac{x-a}{\sigma}.$

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

$P(c < X < d) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_c^d e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} dx,$

Пронормируем это выражение. Для этого введем новую переменную z

Откуда: $x = \sigma \cdot z +a, dx = \sigma dz$ .

Новые пределы интегрирования:

Для $x=c, z=\frac{c-a}{\sigma};$

для $x=d, z=\frac{d-a}{\sigma};$

Тогда, после нормирования, вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

$P(c < X < d) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_\frac{c-a}{\sigma}^\frac{d-a}{\sigma} e^{-\frac{z^2}{2}} (\sigma \cdot dz) =$

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^\frac{d-a}{\sigma} e^{\frac{z^2}{2}}dz - \int_0^{\frac{c-a}{\sigma}} e^{\frac{z^2}{2}} dz.$

Пользуясь функцией Лапласа (функция табулирована)

$Ф(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-\frac{z^2}{2}} dz$

окончательно получим

$P(c < X < d) = Ф(\frac{d-a}{\sigma}) – Ф(\frac{c-a}{\sigma}).$

Пример.

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и $\sigma = 10.$ Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50).