НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 11: Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Структурная теорема

Для формулировки структурной теоремы нам понадобится ввести некоторые новые понятия.

Элемент $\theta$ назовем регулярным мономом над дифференциальным полем $\EuScript F$ , если $\theta$ трансцендентен над $\EuScript F$ и является либо логарифмом, либо \vad экспонентой над $\EuScript F$ . Последовательность элементов $\theta _1,\dots,\theta _n$ называется последовательностью регулярных мономов если каждый ее элемент $\theta _i$ является регулярным мономом над $K(x,\theta _1,\dots,\theta _{i-1})$ , $i=1,\dots,n$ .

В структурной теореме нам нужно различать экспоненты и логарифмы, а именно через обозначим множество индексов , таких, что $\theta _i$ является экспонентой, а - множество индексов , таких, что $\theta _i$ является логарифмом. Структурная теорема дает необходимое и достаточное условие трансцендентности очередного элемента последовательности логарифмов и экспонент.

24.2. ТЕОРЕМА. Пусть - поле констант, $\smu{1}\theta _1,\dots,\theta _{k-1}$ ${(k\geq 1)}$ - последовательность регулярных мономов, - множество индексов $1\leq i\leq k-1$ , таких, что $\theta _i$ является экспонентой $\theta _i=\exp (f_i)$ , а - множество индексов $1\leq i\leq k-1$ , таких, что $\theta _i$ является логарифмом $\theta _i=\log (f_i)$ .

Пусть $\theta _k=\exp (f_k)$ - экспонента над дифференциальным полем $\smu{2}\EuScript F_{k-1}=K(x,\theta _1,\dots,\theta _{k-1})$ , $\smu{2}f_k\in \EuScript F_{k-1}$ . Если элемент $\theta _k$ алгебраичен над $\EuScript F_{k-1}$ , то представляется в виде линейной комбинации с рациональными коэффициентами
$f_k=c+\sum_{i\in E}n_if_i +\sum_{j\in L} m_j\theta_j,\quad n_i,m_j\in\mathbb Q$
, где - некоторая константа.
Пусть $\theta _k=\log (f_k)$ - логарифм над дифференциальным полем $\EuScript F_{k-1}=K(x,\theta _1,\dots,\theta _{k-1})$ , $f_k\in \EuScript F_{k-1}$ . Если элемент $\theta _k$ алгебраичен над $\EuScript F_{k-1}$ , то представляется в виде произведения рациональных степеней
$f_k=c \prod_{i\in E}\theta _i^{n_i}\times\prod_{j\in L}f_j^{m_j},\quad n_i,m_j\in\mathbb Q,$
где - некоторая константа.

Заметим, что оба выписанных соотношения выполняются в поле $F_{i-1}$ , которое является полем рациональных функций над от независимых переменных. Освобождаясь от знаменателей и приравнивая коэффициенты при одинаковых мономах (во 2-м случае нужно предварительно перейти к логарифмической производной), получим систему линейных уравнений относительно , n_i и m_j . Если эта система имеет решение в поле констант, такое, что все $n_i, m_j\in \mathbb Q$ , то $\theta _i$ не является регулярным мономом.

Применение структурной теоремы проиллюстрируем следующими примерами.

24.3. ПРИМЕР. Пусть $K=\mathbb Q$ - поле рациональных чисел, и предположим, что $F=\mathbb Q(x,\theta _1,\theta _2)$ , где $\theta _1=\log(x)$ и $\theta_2=\exp(x)$ - регулярные мономы над $\mathbb Q(x)$ . Используя структурную теорему легко видеть, что ни одна из следующих функций: $\log(\sqrt x)$ , $e^{\log(x)+3x}$ , $\log(2x)$ , $e^{x+1}$ не является регулярным мономом над .

24.4. ПРИМЕР. Рассмотрим выражение

$\log(x\exp(x))+\exp(\exp(x)+\log(x)).$

Будем строить последовательность расширений полей, начинающуюся с поля рациональных чисел $\mathbb Q$ , и содержащую последовательно вычисляемые части выписанного выражения.

Положим $\theta _1=\exp(x)$ . Элемент $\theta _1$ является регулярным мономом, если не существует константы такой, что $x\equiv c$ . Выполнение этого условия очевидно, значит $\theta _1$ - регулярный моном над $\mathbb Q(x)=\mathbb Q(\theta _0)$ .

Положим $\theta_2=\log(x\theta_1)$ . Если $\theta_2$ не является регулярным мономом, то существует константа и рациональное число такие, что $x\theta_1=c\theta_1^n$ . Сравнивая степени в левой и правой части, получаем, что такое соотношение не выполняется ни при каких и , следовательно, $\theta_2$ - регулярный моном над $\mathbb Q(\theta_0,\theta _1)$ .

Положим $\theta_3=\log(x)$ . Структурная теорема дает нам уравнение $x=c(x\theta _1)^m\theta _1^n$ , которое имеет решение $\theta c=1,\ m=1,\ n=-1$ . Заметим, что существование единственного решения у этого уравнения не означает, что $\theta _3$ единственным образом выражается через $\theta _1$ и $\theta _2$ ; действительно, $\theta _3=\theta _2-x+c'$ , где константа определена только по модулю $2\pi i$ . В этом случае структурная теорема может только подсказать, как переформулировать исходную задачу: исходное выражение целесообразно переписать в виде

$\log(x\exp(x))+\exp(\exp(x)+\log(x\exp(x))-x),$

в котором константа

не фигурирует.

Положим $\theta _3=\exp(\theta _1+\theta _2-x)$ . Структурная теорема дает нам условие

$\theta _1+\theta _2-x=c+m\theta _2+nx.$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых мономах в левой и правой частях, получаем систему

$\begin{cases} c=0 &\text {(свободный член)}\\ 1=0 &\text {(коэффициент при } \theta _1)\\ 1=m &\text {(коэффициент при } \theta _2)\\ -1=n &\text {(коэффициент при }x).\end{cases}$

Очевидно, что выписанная система несовместна. Таким образом $\theta _3$ является регулярным мономом. В поле $\mathbb Q(x,\theta _1,\theta _2,\theta _3)$ исходное выражение принимает вид $\theta _2+\theta _3$ .

Заметим, что исходным выражением последовательность элементов $\theta _i$ определяется неоднозначно. В частности, можно при рассмотрении того же выражения полагать $\theta _1=\log(x)$ , $\theta _2=\exp(x)$ , $\theta _3=\exp(\exp(x)+\log(x))$ и $\theta _4=\log(x\exp(x))$ . Можно показать, что в этом случае $\theta _1$ , $\theta _2$ , $\theta _3$ - регулярные мономы, а $\theta _4$ - нет.