НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 11: Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Некоторые сведения из дифференциальной алгебры

В дифференциальной алгебре рассматриваются алгебраические структуры (кольца, поля), в которых наряду с арифметическими операциями имеется операция дифференцирования. При этом дифференцирование определяется не через предельный переход, а с использованием алгебраических свойств. Типичными объектами, с которыми имеет дело дифференциальная алгебра, являются кольца (поля) функций, определенных на подмножестве вещественной прямой или евклидова пространства либо на подмножестве комплексной плоскости. В дифференциальной алгебре мы отвлекаемся от функциональной природы рассматриваемых объектов, не рассматриваем вопросы области определения функций, однозначности и т. д., например, $\log (x-\alpha )$ , где $\alpha$ - алгебраическое число, не интерпретируется как функция на действительной оси или в области комплексной плоскости.

Прежде всего напомним формальное определение дифференцирования, дифференциального кольца и дифференциального поля (см. определение 3.2).

23.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение $\delta$ кольца в себя называется дифференцированием, дифференцирование если оно удовлетворяет условиям

$\begin{equation} \delta (a+b)&=\delta a+\delta b \\ \delta (ab)&=\delta a\cdot b + a\cdot \delta b \end{equation}$

( 23.1)

для всех $a,b\in R$ .

23.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обыкновенным дифференциальным кольцом (полем) называется кольцо (поле), на котором действует оператор дифференцирования $\delta$ . Если на кольце (поле) задано несколько попарно коммутирующих дифференцирований, то оно называется частным дифференциальным кольцом полем или кольцом (полем) с частными производными .

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только обыкновенных дифференциальных полей.

23.3. ПРИМЕРЫ.

Любое кольцо можно рассматривать как дифференциальное кольцо с нулевым дифференцированием.
Кольцо бесконечно дифференцируемых на отрезке функций с дифференцированием по координате является дифференциальным кольцом.
Кольцо многочленов от одной переменной над кольцом можно превратить в дифференциальное кольцо, полагая дифференцирование $\delta$ тривиальным на и произвольным образом задав значение $\delta(x)$ . Продолжение дифференцирования на все кольцо многочленов определяется однозначно правилами (23.1).

23.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если - дифференциальное кольцо ( поле ) с дифференцированием $\delta$ , то множество элементов $c\in R$ , таких, что $\delta c=0$ образует подкольцо (подполе) кольца (поля) , называемое подкольцом (подполем) констант. Элемент $\delta a$ называется производной элемента $a\in R$ и часто обозначается . Элемент $\delta ^n(a)$ называется -ой производной элемента и обозначается обычно $a^{(n)}$ .

23.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть $\EuScript F$ --дифференциальное поле с дифференцированием $\delta$ . Расширение $\EuScript G$ поля $\EuScript F$ называется дифференциальным расширением дифференциального поля $\EuScript F$ , если на $\EuScript G$ определено дифференцирование $\delta_1$ , ограничение которого на $\EuScript F$ совпадает с $\delta$ . Дифференцирование $\delta _1$ называется продолжением дифференцирования $\delta$ и обозначается, если это не приводит к двусмысленности, тем же символом $\delta$ .

Имеют место следующие теоремы о продолжении дифференцирований.

23.6. ТЕОРЕМА. Пусть -целостное кольцо, $\EuScript F$ -его поле частных, $\delta$ - дифференцирование кольца . Тогда дифференцирование $\delta$ однозначно продолжается до дифференцирования поля $\EuScript F$ .

Нетрудно проверить, что, полагая $\delta \left(\frac ab\right)=\frac {\delta a\,b-a\,\delta b}{b^2 }$ , мы получаем нужное продолжение и из соотношения $\delta (b\cdot(\frac ab))=\delta a$ следует единственность этого продолжения.

23.7. ТЕОРЕМА. Пусть $\EuScript F$ -дифференциальное поле с дифференцированием $\delta$ , $\EuScript G$ - алгебраическое расширение поля $\EuScript F$ . Тогда дифференцирование $\delta$ однозначно продолжается до дифференцирования поля $\EuScript G$ .

Действительно, если $\alpha$ удовлетворяет алгебраическому уравнению

$\sum_{i=0}^n a_i\alpha^i=0,$

то производная $\alpha'$ удовлетворяет соотношению

$\alpha'\sum_{i=1}^nia_i\alpha^{i-1}=-\sum_{i=0}^na'_i\alpha^i.$

В дифференциальной алгебре логарифмы и экспоненты определяются следующим образом.

23.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть $\EuScript G$ -дифференциальное расширение дифференциального поля $\EuScript F$ . Элемент $\theta \in \EuScript G$ называется логарифмом над $\EuScript F$ , если $\theta$ удовлетворяет дифференциальному уравнению ${f\theta '=f'}$ для некоторого ненулевого элемента $f\in \EuScript F$ (обозначается $\theta =\log f$ ).

23.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть $\EuScript G$ -дифференциальное расширение дифференциального поля $\EuScript F$ . Элемент $\theta \in \EuScript G$ называется экспонентой над $\EuScript F$ , если $\theta$ удовлетворяет дифференциальному уравнению ${\theta '=f'\theta}$ для некоторого ненулевого элемента $f\in \EuScript F$ (обозначается $\theta =\exp f$ ).

Легко видеть, что определяемые в курсе анализа функции $\ln f$ и e^f удовлетворяют этому определению.

Классической постановкой задачи интегрирования в конечном виде считается случай, когда $\EuScript A=\EuScript B$ -класс элементарных функций. Элементарные функции получаются из рациональных функций посредством арифметических операций и композиции функций (может быть вложенной) алгебраических, логарифмических и экспоненциальных. Более строго элементарные функции определяются следующим образом.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Некоторые сведения из дифференциальной алгебры

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Некоторые сведения из дифференциальной алгебры

Вопросы и ответы

Студенты