Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный
Лекция 3:

Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Алгоритм примитивных PRS

В этом случае

\beta_i=\cont\{\prem[p_i(x),p_{i+1}(x)]\},\quad i=1, 2,\dots , h-1,

где prem обозначает псевдоостаток, т. е. теперь мы удаляем содержание (i + 2) -го члена PRS до того, как мы используем его. [Напомним, что для данного p(x) удобно определять p. p.[p(x)] так, чтобы старший коэффициент был положительным.]

6.6. ПРИМЕР. Рассмотрим те же полиномы, что и в предыдущем примере: p1(x) = x3 - 7x + 7, p2(x) = 3x2 - 7 в \mathbb Z[x], где снова p_i(x)=p'_i(x) , \; i=1,2 Теперь мы получаем

\begin{align*}
  {}&p_1(x)=x^3-7x+7, &\quad& \\
  {}&p_2(x)=3x^2-7,   &&q_1(x)=3x,\\
  {}&p_3(x)=2x-3,     &&q_2(x)=6x+9,\qquad \beta_1=-21,\\
  {}&p_4(x)=1,  &&q_3(x)=2x-3,\qquad \beta_2=-1,
\end{align*}

что достигается выполнением следующих псевдоделений:

\begin{align*}
  (3)^2p_1(x)&=p_2(x)\cdot(3x)+(-21)(2x-3),\\
  (2)^2p_2(x)&=p_3(x)\cdot(6x+9)+(-1),\\
  (1)^2p_3(x)&=p_4(x)\cdot(2x-3)+0.
\end{align*}

Этот алгоритм дает наилучшие возможные результаты в отношении роста коэффициентов, однако, они достигаются достаточно сложными вычислениями НОД коэффициентов на каждом этапе. В монографии [ 7 ] , 2.3.3] утверждается, что лучшим из известных методов вычисления НОД многочленов, основанных на применении к многочленам с целыми коэффициентами алгоритма Евклида, является метод, в котором множители \beta _{i} выбираются следующим образом.

Предположим, что даны два многочлена p_1(x), p_2(x) \in \mathbb Z[x]. Для вычисления их НОД построим последовательность полиномиальных остатков p3(x), p4(x), . . . , ps(x), 0. Введем обозначение ci для старшего коэффициента многочлена pi(x) и \delta i для разности степеней многочленов pi(x) и pi+1(x). Последовательность полиномиальных остатков строим по формуле (6.1), в которой полагаем

\begin{aligned}
    {\beta_1&=(-1)^{\delta_1+1}\\
   \beta_i&=-c_i\psi_i^{\delta_i},\quad i>1,} \quad \quad \quad \ecno(6.2)
  \end{aligned}

где

\begin{aligned}
    \psi_1&=-1 
\\
   \psi_i&=(-c_i)^{\delta_{i-1}}i\psi_{i-1}^{1-\delta_{i-1}},\quad i>1.\quad \quad \quad \ecno(6.3)
  \end{aligned}

Теорема о субрезультантах (см., например, [ 12 ] ) утверждает, что все pi являются многочленами с целыми коэффициентами.

6.7. ПРИМЕР. Анализ вычисления НОД следующих многочленов выполнен Брауном [ 17 ] . Этот пример разобран также в монографии [ 7 ] , § 2.3.3].

\begin{align*}
  p_1(x)&=x^8+x^6-3x^4-3x^3+8x^2+2x-5,\\
  p_2(x)&=3x^6+5x^4-4x^2-9x+21.
\end{align*}

Рассматривая эти многочлены как элементы кольца \mathbb Q[x] и применяя алгоритм Евклида, мы получаем следующую последовательность:

\begin{align*}
  p_3&=\frac{-5}9x^4+\frac19x^2-\frac13,\\
  p_4&=\frac{-117}{25}x^2-9x+\frac{441}{25},\\
  p_5&=\frac{233150}{19773}x-\frac{102500}{6591},\\
  p_6&=\frac{1288744821}{543589225}.
\end{align*}

Все выписанные дроби являются несократимыми.

Выписанная последовательность достаточно трудоемка для вычислений вручную. Рекомендуется воспользоваться системой компьютерной алгебры Maple. Данная последовательность полиномиальных остатков получается с помощью функции rem, вычисляющей остатки. По умолчанию система Maple не упорядочивает слагаемые в многочленах, для этой цели используется функция sort. Последовательность команд может выглядеть следующим образом:

\begin{verbatim}
     p[1]:=x^8+x^6-3*x^4-3*x^3+8*x^2+2*x-5;
     p[2]:=3*x^6+5*x^4-4*x^2-9*x+21;
     p[3]:=sort(rem(p[1],p[2],x));
     p[4]:=sort(rem(p[2],p[3],x));
     p[5]:=sort(rem(p[3],p[4],x));
     p[6]:=sort(rem(p[4],p[5],x));
\end{verbatim}

Применение нормализации делителя позволяет уменьшить коэффициенты, но не слишком сильно.

Для данного примера евклидова последовательность полиномиальных остатков имеет вид

\begin{align*}
  p_3&=-15x^4+3x^2-9,\\
  p_4&=15795x^2+30375x-59535,\\
  p_5&=1254542875143750x-1654608338437500,\\
  p_6&=12593338795500743100931151992187500.
\end{align*}

Для вычисления этой последовательности с помощью системы Maple нужно в приведенной выше программе заменить функцию rem на prem.

Наконец, применяя формулы (6.2) и (6.3), мы получаем последовательность

\begin{align*}
  p_3&=15x^4-3x^2+9,\\
  p_4&=65x^2+125x-245,\\
  p_5&=9326x-12300,\\
  p_6&=260708,
\end{align*}

которая возрастает значительно медленнее, чем предыдущие последовательности.

Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? 

Александр Марушко
Александр Марушко
Россия
Стешков Антон
Стешков Антон
Россия, г. Гуково