НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 3: Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Пользуясь леммой Гаусса 6.2, мы можем разбить вычисление НОД(f(x), g(x)) в кольце $\mathbb Z[x]$ на следующие этапы:

найти наибольший общий делитель $d_c \in \mathbb Z$ коэффициентов многочленов f(x) и g(x) ;
найти d_q(x) = НОД(f(x), g(x)) в кольце $\mathbb Q[x]$ , нормированный таким образом, что $dq(x)\in \mathbb Z[x]$ и коэффициенты многочлена d_q(x) взаимно просты;
НОД(f(x), g(x)) = d_c · d_q(x) в кольце $\mathbb Z[x]$ .

Введем следующие определения.

6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наибольший общий делитель коэффициен- тов многочлена $f(x) \in \mathbb Z[x]$ называется содержанием этого многочлена и обозначается cont(f). Многочлен f(x)/ cont(f) называется примитивной частью многочлена f(x) и обозначается p. p.(f(x)).

Обратимся теперь к задаче нахождения наибольшего общего делителя двух полиномов p₁(x), p₂(x) в кольце $\mathbb Z[x]$ , при условии, что все арифметические операции над коэффициентами выполняются не в поле $\mathbb Q$ , а в кольце $\mathbb Z$ , являющимся не полем, а только областью с однозначным разложением на множители. Из приведенных выше рассуждений ясно, что мы можем вывести следующие важные соотношения:

cont{НОД[p₁(x), p₂(x)]} = НОД{cont[p₁(x)], cont[p₂(x)]},
			p. p.{НОД[p₁(x), p₂(x)]} = НОД{p. p.[p₁(x)], p. p.[p₂(x)]}.

Поэтому задача нахождения наибольшего общего делителя произвольных полиномов сводится к задаче нахождения наибольшего общего делителя примитивных полиномов.

Рассмотрим два примитивных ненулевых полинома p₁(x) и p₂(x) в $\mathbb Z[x]$ , у которых deg[p₁(x)] = m и deg[p₂(x)] = n, m > n. Поскольку алгоритм деления полиномов с остатком требует точной делимости старшего коэффициента делимого на старший коэффициент делителя, обычно этот процесс невозможно выполнить для полиномов p₁(x) и p₂(x) над целыми числами, не ослабляя требования делимости. Поэтому мы вводим процесс псевдоделения, который всегда дает нам псевдочастное и псевдоостаток (prem), коэффициенты которых являются целыми числами.

Псевдоделение означает предварительное умножение полинома p₁(x) на {lc[p2(x)]}^m-n+1, а затем применение алгоритма деления многочленов, когда известно, что все частные существуют, т. е.

$\{lc[p_2(x)]\}^{m-n+1}p_1(x)=p_2(x)q(x)+r(x),\quad \deg[r(x)]<\deg[p_2(x)],$

где q(x) и r(x) — псевдочастное и псевдоостаток соответственно.

6.4. ПРИМЕР. Пользуясь псевдоделением в $\mathbb Z[x]$ , разделим p₁(x) == x4 - 7x + 7 на p₂(x) = 3x² - 7. Для того, чтобы вычислить q(x) и r(x), предварительно умножим p₁(x) на 34-2+1 = 27, а затем, применяя алгоритм деления многочленов, получаем q(x) = 9x2 + 21 и r(x) = -189x + 336. Читатель может убедиться, что алгоритм деления многочленов не будет работать, если мы предварительно домножим p1(x ) только на 3.

Поэтому, пытаясь вычислить наибольший общий делитель полиномов p₁(x) и p₂(x), мы должны убедиться, что выполнимы все деления полиномов, встречающиеся в этом процессе, т. е. мы должны, используя псевдоделения, сформировать последовательность полиномиальных остатков. Таким образом, мы приходим к следующему обобщенному алгоритму Евклида для полиномов.

А 6. АЛГОРИТМ (GEA-P). Обобщенный алгоритм Евклида для многочленов над целыми числами G eneralized E uclidean A lgorithm for P olynomials over the Integers.

$\begin{align*} &\text{Дано:\quad $p_1(x), p_2(x)$ - ненулевые полиномы в $ \mathbb Z[x]$;}\\ &\text{\quad \quad \quad$\deg[p_1(x)]=n_1$, $\deg[p_2(x)] = n_2$,$n_1\ge n_2$.}\\ &\text{Надо:\quad $НОД[p_1(x), p_2(x)]$, НОД многочленов $p_1(x)$ и $p_2(x)$.}\\ &\text{начало}\\ &\text{ \quad\quad\quad 1 [Вычисление НОД содержаний]}\\ &\text{\quad\quad\quad\quad $c:=НОД\{\cont[p_1(x)],\cont[p_2(x)]\}$.(Здесь мы используем }\\ &\text{\quad\quad\quad алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего де-}\\ &\text{\quad\quad\quad лителя двух целых чисел.)}\\ &\text{ \quad\quad 2 [Вычисление примитивных частей]}\\ &\text{\quad\quad\quad $p'_1(x):=p_1(x)/\cont[p_1(x)]; p'_2(x):=p_2(x)/\cont[p_2(x)]$.}\\ &\text{ \quad\quad3 [Построение PRS]}\\ &\text{\quad\quad\quad Вычислить $p'_1(x),p'_2(x),p_3(x),\dots,p_h(x)$.}\\ &\text{\quad\quad 4 [Выход]}\\ &\text{ \quad\quad\quad Если $\deg[p_h(x)] = 0$, то вернуть $НОД[p_1(x), p_2(x)]:=c$,}\\ &\text{ \quad\quad\quad иначе вернуть $НОД[p_1(x), p_2(x)]:=c\cdot \pp[p_h(x)]$.}\\ \end{align*}$

Ясно, что время работы этого алгоритма зависит от того, насколько эффективно мы можем вычислять последовательность полиномиальных остатков $p'_1(x), p'_2(x), p_3(x), \dots, p_h(x)$ . Заметим, что если $n_i=\deg[p_i(x)]$ , то в общем случае мы можем утверждать, что члены этой последовательности удовлетворяют соотношениям

$\{lc[p_{i+1}(x)]\}^{n_i-n_{i+1}+1}p_i(x)=p_{i+1}(x)q_i(x)+\beta_ip_{i+2}(x),\\ \deg[p_{i+2}(x)] < \deg[p_{i+1}(x)], \end{gathered}\label{beta}$

где i = 1, 2, . . . , h - 1 для некоторого h. [Разумеется, p_i(x):=p'_i(x) , i = 1, 2,где p'_i(x) , i=1,2 определены на шаге 2 алгоритма GEA-P ]. Если дан метод выбора коэффициентов $\beta _{i}$ , то выписанное соотношение дает алгоритм построения PRS; очевидно, что условие завершения этого семейства алгоритмов — равенство нулю псевдоостатка.

Ниже мы рассматриваем различные алгоритмы, полученные для разных значений $\beta _{i}$ .

Евклидов алгоритм PRS.

Здесь $\beta_i=1$ для всех $i=1, 2,\dots, h-1$ , т.е. каждый псевдоостаток используется в том виде, в котором он получен. Это один из худших методов построения PRS, приводящий к экспоненциальному росту коэффициентов.

6.5. ПРИМЕР. Рассмотрим полиномы p_1(x)=x^3-7x+7 , p_2(x)=
3x^2-7 в $\mathbb Z[x].$ Очевидно, что $\cont[p_1(x)]=\cont[p_2(x)]=1$ и p_i(x)=p'_i(x) , i=1,2 . Мы имеем такую последовательность:

$\begin{align*} {}&p_1(x)=x^3-7x+7, &&\\ {}&p_2(x)=3x^2-7, && q_1(x)=3x, \\ {}&p_3(x)=-42x+63,\quad && q_2(x)=-126x-189,\\ {}&p_4(x)=-441, && q_3(x)=18522x-27783, \end{align*}$

полученную при выполнении следующих псевдоделений:

$\begin{align*} (3)^2 p_1(x)&=p_2(x)\cdot(3x)+(-42x+63),\\ (-42)^2p_2(x)&=p_3(x)\cdot(-126x-189)+(-441),\\ (-441)^2 p_3(x)&=p_4(x)\cdot(18522x-27783)+0. \end{align*}$

Из шага 4 алгоритма GEA-P следует, что НОД[p₁(x), p₂(x)]=1. Отметим также, что в последнем псевдоделении коэффициенты имеют 8 десятичных цифр, поскольку (-441)²p₃(x)=-8168202x+12252303.

Последовательность полиномиальных остатков этого примера называется полной, потому что степень каждого ее члена на единицу меньше степени предыдущего; два первых члена могут, конечно, иметь одинаковые степени. В противном случае последовательность называется неполной. Заметим, что не существует способа сказать a priori, будет ли PRS полной или неполной.

Экспоненциальный рост коэффициентов членов PRS в приведенном примере обусловлен тем, что полиномы этой последовательности не являются примитивными, т. е. то, что мы не избавляемся от их содержания, дает вредный эффект. Эта ситуация исправляется ниже.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Евклидов алгоритм PRS.

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Евклидов алгоритм PRS.

Вопросы и ответы

Студенты