Проблема представления данных

3.8. УПРАЖНЕНИЯ.

1. Любое кольцо можно рассматривать как разностное кольцо с тождественным изоморфизмом.
2. Кольцо многочленов R[x] от одной переменной над обыкновенным разностным кольцом можно превратить в обыкновенное разностное кольцо, произвольным образом задав значение . Показать, что значением трансляция кольца R[x] определяется однозначно.
3. Показать, что не любой автоморфизм кольца R[x] продолжается на кольцо формальных степенных рядов.
4. Пусть R - разностное кольцо без делителей нуля, F - его поле частных. Показать, что F можно единственным образом превратить в разностное поле, содержащее разностное кольцо R.
5. Поле формальных (сходящихся) рядов Лорана K((x)) можно рассматривать как обыкновенное разностное поле с оператором трансляции таким, что , где k — произвольный ненулевой элемент поля K.

3.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — разностное кольцо с множеством операторов трансляции Под разностным модулем над R, или разностным R - модулем, мы понимаем R -модуль M, на котором действуют операторы из множества в соответствии со следующими условиями

Разностный модуль M можно рассматривать как левый модуль над кольцом косых многочленов разностного типа. Это кольцо мы будем называть кольцом разностных операторов. Пусть T — свободная коммутативная полугруппа (записываемая мультипликативно), порожденная элементами множества Каждый элемент кольца может быть единственным образом записан в виде конечной суммы

умножение образующих задается соотношениями

и по линейности распространяется на все кольцо . Это кольцо иногда называют кольцом разностных многочленов, но мы будем придерживаться терминологии, принятой в монографии [ 18 ] , где кольцом разностных многочленов над разностным кольцом R называют разностное кольцо многочленов от счетного множества неизвестных над R. В кольце операторы трансляции из множества действуют на коэффициентах по определению разностного кольца, а на образующих — по правилу:

3.10. УПРАЖНЕНИЯ. Пусть F — обыкновенное разностное поле с автоморфизмом Доказать следующие свойства кольца линейных разностных операторов над F:

1. в R нет делителей нуля;
2. R является кольцом главных левых (правых, двусторонних) идеалов;
3. в R нет нетривиальных двусторонних идеалов;
4. в R имеется алгоритм Евклида для нахождения левого (правого) НОД двух операторов;
5. в R имеется алгоритм Евклида для нахождения левого (правого) НОД двух операторов;
6. R не обязательно является кольцом с однозначным разложением на множители (привести пример разностного поля F, для которого это свойство не выполняется).

Кольца дифференциальных и разностных многочленов с точки зрения теории колец представляют собой кольца коммутативных многочленов от счетного множества переменных (каждый конкретный многочлен зависит только от конечного числа переменных). Таким образом, для решения задачи представления данных в кольце дифференциальных (разностных) многочленов и поле рациональных дифференциальных (разностных) функций достаточно упорядочить кольцевые образующие. Кольцо дифференциальных многочленов является дифференциальным кольцом, т. е. наряду с операциями сложения и умножения в нем имеются унарные операции дифференцирования, переводящие кольцевую образующую в другую кольцевую образующую, и отношение порядка на множестве кольцевых образующих выбирается так, чтобы оно было согласовано с дифференцированиями. Аналогично, кольцо разностных многочленов является разностным кольцом.

Векторные пространства и модули.

В вычислительной математике и в алгебре понятие векторного пространства над некоторым полем K играет ключевую роль. При фиксированном базисе пространства задача представления данных не представляет какой-либо сложности — два вектора совпадают тогда и только тогда, когда совпадают все их координаты в фиксированном базисе. Соответствующая структура данных — вектор элементов типа K с индексом 1..n — является одной из базисных структур данных в программировании. Для случая, когда коэффициенты образуют кольцо R, не являющееся полем, положение существенно сложнее — аналогом понятия векторного пространства (множество, замкнутое относительно сложения, вычитания и умножения на элементы кольца с естественными аксиомами сложения и умножения) является в этом случае понятие модуля. Важным частным случаем модуля является свободный модуль над кольцом R ( R -модуль). В частности, любое кольцо с единицей можно рассматривать как свободный модуль над самим собой, любой идеал кольца является его подмодулем. С точки зрения задачи представления данных соответствующая структура данных такж может быть при фиксированном базисе описана как вектор элементов типа R с индексом 1..n.

С другой стороны, свободный модуль над алгеброй обобщенных многочленов можно рассматривать как бесконечномерное векторное пространство над основным полем. В качестве базиса этого пространства удобно выбрать всевозможные произведения мономов из кольца обобщенных многочленов на модульные образующие. Любой элемент модуля содержится в некотором конечномерном подпространстве, порожденном каким-то подмножеством базисных векторов. Выбор базисных векторов и отношения порядка на множестве базисных векторов определяет каноническую форму любого элемента свободного модуля над кольцом обобщенных многочленов.

К сожалению, множество свободных модулей незамкнуто относительно модульных гомоморфизмов, т. е. как подмодули, так и фактормодули свободного модуля не обязаны быть свободными модулями.

3.11. УПРАЖНЕНИЯ.

1. Привести пример идеала в кольце многочленов от двух переменных, не являющегося свободным модулем над этим кольцом.
2. Привести пример факторкольца кольца многочленов от одной переменной, не являющегося свободным модулем над этим кольцом.