Проблема представления данных

Кольца вычетов и конечные поля.

Кольца вычетов и конечные поля представляют собой наиболее простые объекты с точки зрения задачи представления данных. Каждому элементу такого кольца или поля, состоящего из n элементов, можно сопоставить, например, взаимно однозначно неотрицательное целое число из отрезка [0, n - 1]. Для колец вычетов — это сопоставление каждому классу вычетов его единственного элемента, лежащего в [0, n - 1], при этом арифметические операции над такими "числами" выполняются как операции над целыми числами по модулю n. Часто в качестве системы представителей кольца вычетов выбирается отрезок [-(n-1)/2, (n-1)/2] при нечетном n и [-n/2+1, n/2] при четном n. Арифметические операции +, -, * реализуются очевидным образом, для реализации операции деления обычно используется расширенный алгоритм Евклида (см. "Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Факторизация" ).

Хотя элементы конечного поля из n элементов также находятся во взаимнооднозначном соответствии с целыми числами из отрезка [0, n - 1], это соответствие не является таким же естественным, в частности, арифметические операции выполняются по более сложным правилам. Чаще используются другие формы представления, например, для записи элементов простого поля из p элементов ис пользуется система вычетов по модулю p, а поле GF(p^k) представляется в виде факторкольца кольца многочленов по идеалу, порожденному некоторым неприводимым по модулю p многочленом степени k.

Сформулируем основные результаты о конечных полях.

1. Любая конечная область целостности является полем (следует из взаимной однозначности умножения на любой ненулевой элемент).
2. Характеристика конечного поля является простым числом (следует из отсутствия делителей нуля).
3. Любое конечное поле GF(q) характеристики p состоит из q = p^k элементов, где k — натуральное число (поскольку оно является векторным пространством над , k — размерность этого пространства).
4. Мультипликативный порядок любого ненулевого элемента поля GF(q) делит q - 1 (ненулевые элементы образуют по умножению группу порядка q - 1 ).
5. Мультипликативная группа поля GF(q) является циклической, т. е. существует элемент порядка q-1 (следует из однозначности разложения на множители многочленов x^m-1 над любым полем).
6. Любые два конечных поля, содержащих одинаковое число элементов, изоморфны (следует из однозначности поля разложения для многочлена x^q-1 - 1 ).
7. 

Таким образом, существует два принципиально разных подхода к построению канонического представления элементов конечного поля GF(p^k):

1. (векторное представление) выбрать элемент x такой, что его степени x⁰ = 1, x, x², . . . , x^k-1 порождают наше поле как векторное пространство над простым подполем , и любой элемент записывать как вектор в этом базисе;
2. (степенное представление) найти примитивный элемент порождающий мультипликативную группу этого поля, и любой элемент поля представлять в виде степени элемента

Отметим, что переход от степенного представления к векторному достаточно прост, а обратный переход (вычисление дискретного логарифма) — очень сложен. Сложность этой задачи используется в криптографии для построения систем кодирования с открытым ключом.

1.4. УПРАЖНЕНИЯ.

1. Показать, что кольцо вычетов по модулю p² не изоморфно конечному полю из p² элементов.
2. Составить таблицу умножения и деления для колец и и для полей GF(4) и GF(9).
3. Для заданной матрицы размера p² x p², где p = 2 или 3, проверить, является ли она таблицей умножения в поле GF(p²) при какой-либо нумерации элементов этого поля.
4. Реализовать алгоритм деления в кольце вычетов (учесть возможность получения неоднозначного результата).
5. Китайская теорема об остатках. Дано k взаимно простых натуральных чисел m_i > 1. Для любого набора из k целых чисел a_i, 1 <= i <= k, найти , такое, что для всех i от 1 до k.
6. Обобщить предыдущую задачу на случай, когда числа m_i не обязательно взаимно просты.
7. Найти все неприводимые над полем многочлены степени n ( n небольшое).
8. Найти число неприводимых над полем многочленов степени n.

Рациональные числа.

Множество рациональных чисел определяется как фактормножество множества пар x , , по отношению эквивалентности: . Если у нас фиксирована каноническая форма целого числа, то каноническую форму рационального числа мы можем получить, например, выбирая из эквивалентных пар целых чисел (a, b) такую, у которой b > 0 и НОД(a, b) = 1. Все сказанное выше о представлении целых чисел относится и к представлению рациональных чисел.

Естественно, приведенная выше каноническая форма рационального числа не является единственно возможной. Из школьного курса известно, что любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Также известно, что любая бесконечная периодическая дробь представляет рациональное число, причем соответствие между рациональными дробями и бесконечными десятичными периодическими дробями не является взаимно однозначным: рациональные числа, знаменатели которых имеют вид 2ⁿ5^m, могут быть представлены периодическими дробями с периодами (0) и (9).

1.5. УПРАЖНЕНИЯ. Пусть m — натуральное число, m > 1, рассматриваемое как основание системы счисления.

1. Доказать, что рациональные числа могут быть представлены бесконечными периодическими m -ичными дробями, причем неоднозначно.
2. Доказать, что любая бесконечная периодическая m -ичная дробь представляет некоторое рациональное число.
3. Установить взаимнооднозначное соответствие между множеством рациональных дробей и некоторым подмножеством бесконечных периодических m -ичных дробей.
4. Написать программу перевода рациональных чисел в бесконечные периодические m -ичные дроби и обратно.

Часто рациональные числа представляют в виде суммы целого числа и правильной дроби, т. е. положительного рационального числа . Исследователи утверждают, что в древнем Египте имелись обозначения только для дробей с числителем 1, остальные числа представлялись в виде суммы таких дробей.

1.6. УПРАЖНЕНИЯ.

1. Доказать, что любое положительное рациональное число можно представить в виде суммы обратных величин различных натуральных чисел.
2. Показать, что такое представление не единственно.
3. Описать алгоритм, выбирающий из всех возможных представлений такого вида единственное.
4. Написать программу, представляющую любое положительное рациональное число в виде суммы обратных величин различных натуральных чисел.