Помогите решить задание лекции 3 курс Математическая теория формальных языков |
Основные свойства контекстно-свободных языков
9.6. Пересечение контекстно-свободного языка с автоматным языком
Теорема 9.6.1. Если L1 - контекстно-свободный язык и L2 - автоматный язык, то язык является контекстно-свободным.
Доказательство. Пусть - контекстно-свободная грамматика, порождающая язык L1. Без ограничения общности можно считать, что множество P содержит только правила вида и , где , и (см. теорему 8.3.3). Пусть - конечный автомат, распознающий язык L_2. Без ограничения общности можно считать, что для каждого перехода выполняется равенство |x| = 1 (см. лемму 2.3.3).
Построим контекстно-свободную грамматику , порождающую язык . Положим
где - новый символ (не принадлежащий множеству ).Пример 9.6.2. Пусть . Рассмотрим контекстно-свободный язык L1, порождаемый грамматикой
и автоматный язык L2, распознаваемый конечным автоматом , где Q = {1,2}, I = {1}, F = {2}, Тогда язык порождается контекстно-свободной грамматикой Здесь S11, S12, S21 и S22 соответствуют символам , , и из доказательства теоремы 9.6.1.Теорема 9.6.3*. Если L1 - линейный язык и L2 - автоматный язык, то язык является линейным.
Пример 9.6.4*. Пусть . Рассмотрим линейный язык L1, порождаемый грамматикой
и автоматный язык L2, распознаваемый конечным автоматом , где Q = {1,2,3}, I = {1}, F = {3}, Тогда язык порождается контекстно-свободной грамматикой Эту грамматику можно упростить, заменив S11 и S33 на один символ.Упражнение 9.6.5. Найти контекстно-свободную грамматику для языка , где L1 порождается грамматикой
а язык L2 порождается грамматикойУпражнение 9.6.6. Найти контекстно-свободную грамматику для языка , где L1 порождается грамматикой
а язык L2 порождается грамматикойУпражнение 9.6.7. Является ли контекстно-свободным язык
Упражнение 9.6.8. Является ли контекстно-свободным язык
Упражнение 9.6.9. Существует ли над алфавитом {a,b} такой линейный язык L, что язык не является контекстно-свободным?