НОУ ИНТУИТ | Обработка экспериментальных данных. Лекция 2: Статистическая обработка в Mathcad

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 13.08.2013 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Поволжский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

|

Вам нравится? Нравится 47 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Цель работы: знакомство с использованием функций в система Mathcad.

Ключевые слова: ПО, форматирование, вывод

Подготовка к работе

По указанной литературе изучить приёмы работы с формулами, функциями, форматирование и редактирование данных.

Контрольные вопросы

Что такое ранжированная переменная и для решения, каких задач она используется?
Какие категории функций имеются в системе MathCAD?
Дать понятие функции пользователя?
Назовите виды операторов системы MathCAD и поясните их назначение.
Как вывести результаты вычислений в виде таблиц?
Организация вложенных циклов.
Правила задания многомерных функций.

Задания на выполнение

Научиться использовать математические и статистические функции в системе MathCAD.

Линейная и сплайновая интерполяции.
Исходные данные для выполнения задания 1 в таблице 2.1.

Таблица 4.1.
варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Исходные данные $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ 8 & 5 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 3 \\ 2 & 4 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 5 \\ 4 & 9 \\ 8 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ 6 & 8 \\ 9 & 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$

Рассмотрим линейную интерполяцию
Линейная интерполяция

$A:= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 1\\ 5 & 2\\ 6 & 4 \end{pmatrix} \text { Векторы исходных данных X и Y} \\ \\ A:=csort(A,0) \qquad X:=A^{\langle 0 \rangle}\qquad Y:=A^{\langle 1 \rangle} \\ \\ f(x):=linterp(X,Y,x) \qquad f(2)=3 \qquad f(7)=6$

Сплайновая интерполяция

$S:=cspline (X,Y) \qquad fs(x):=interp (S,X,Y,x)\\ fs(2)=3 \qquad fs(7)=-2.067$
Как мы видим значения точек при линейной и сплайновой интерполяции различны.
Построим графики линейной и сплайновой интерполяций. Для этого задается количество точек и шаг.
$i:=0..length(X)-1 \qquad scale:=100 \qquad j:=0..scale \\ x_j=min(X)+j \cdot \frac {max(X)-min(X)} {scale}$

Рис. 4.1. Линейная и сплайновая интерполяции

Таблица 4.1.
варианты	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Исходные данные	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ 8 & 5 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 3 \\ 2 & 4 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 5 \\ 4 & 9 \\ 8 & 1 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ 6 & 8 \\ 9 & 0 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$

Линейная регрессия.

Исходные данные для выполнения задания 2 в таблице 4.2.

Таблица 4.2.
№	Заданные вектора	№	Заданные вектора
1	VX=[3, 2, 4, 5]	4	VX=[7, 18, 3, 11]
1	VY=[7, 8, 9, 5]	4	VY=[1, 5, 3, 9]
2	VX=[12, 14, 7, 11]	5	VX=[24, 9, 12, 27]
2	VY=[6, 8, 10, 15]	5	VY=[9, 3, 17, 11]
3	VX=[3, 9, 12, 14]	6	VX=[4, 15, 2, 19]
3	VY=[7, 9, 11, 13]	6	VY=[11, 17, 1, 13]

$VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad \text {Исходные данные}\\ ORIGN:=1$

Вычислим коэффициенты a и b линейной регрессии

$a:=intercept (VX,VY) \qquad b:=slope(VX,VY) \\ \\ i:=1..6 \qquad f(x):=a+b \cdot x \\ \\ 1=-1.6 \qquad b=5.8 \qquad corr(VX,VY)=0,996 \\ \\ f(3)=15,8 \qquad linterp (VX,VY,3)=15$

По этим данным строим график линейной регрессии

Рис. 4.2. Линейная регрессия

Линейная регрессия общего вида.
Исходные данные для выполнения задания 3 в таблице 4.2.
$VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad F(x):= \begin{pmatrix} \frac 1 x \\ x^2 \\ x\\ 2 \cdot x\\ exp(x) \end{pmatrix}$
Функции F(x) подбираются так, чтобы коэффициент детерминации стремился к единице.
$K:=linfit(VX,VY,F) \qquad g(t):=F(t) \cdot K \\ \\ R^2=\frac {\sum \overrightarrow {(g(VX)-mean(VY))^2}} {\sum \overrightarrow {(VY)-mean(VY))^2}} = 0.999 \qquad \text {коэффициент детерминации} \\ i:=0..4 \qquad r:=1,1.25..5 \qquad K:= \begin{pmatrix} -5.242 \\ -0.918 \\ 1.613 \\ 3.226 \\ 0.079 \end{pmatrix}\\$

g(t) – это функция регрессии

К – коэффициент функции регрессии

Рис. 4.3. Линейная регрессия общего вида
Полиномиальная регрессия
Исходные данные для выполнения задания 4 в таблице 4.2.
$VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad k:=3 \qquad \text {Исходные данные}$

k – степень полинома, от него зависит насколько точно будет построена функция.
$z:=regress (VX,VY,K)\\ \\ F(x):=interp(z,VX,VY,x)\\ \\ Coeffs:=submatrix(z,3,length(z) – 1,0,0)\\ \\ Coeffs^T=(-6.2 \qquad 12.81 \qquad -2.857 \qquad 0.333)$

F(x) - выдаёт интерполированное значение в x от коэффициентов вектора напротив, и оригинальных данных в VX и VY.

Coeffs - выдаёт субматрицу массива состоящую из элементов в строках ir через jr и столбцах ic через jc из z.

Coeffs^T - преобразует коэффициент в горизонтальную запись
$R^2=\frac {\sum \overrightarrow {(F(VX)-mean(VY))^2}} {\sum \overrightarrow {(VY)-mean(VY))^2}} = 0.998 \qquad \text {коэффициент детерминации} \\ \\ i:=0..6 \qquad j:=0..4 \qquad tx_j:=min(VX)+j \frac {(max(VX)-min(VX))} {50}$

Рис. 4.4. Полиноминальная регрессия
Нелинейная регрессия общего вида.
Исходные данные для выполнения задания 5 в таблице 4.2

$F(x,a,b):=a \cdot exp(-b \cdot x)+a \cdot b \\ ORIGIN:=1\\ VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad VS:= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ F1(x,k):= \begin{pmatrix} k_1exp(-k_2x+k_1k_2 \\ exp(-k_2x)+k_2\\ -k_1x \cdot exp(-k_2x)+k_1 \end{pmatrix}\\ P:=genfit(VX,VY,VS,F1)\qquad G(x):=F1(x,P)_1 \qquad x:=0,0.1..4$

$P = \begin{pmatrix} 0.762 \\ 20.722 \end{pmatrix} \qquad$
Вектор возращает значения и для наилучшего среднеквадратического приближения