НОУ ИНТУИТ | Решение задач оптимизации управления с помощью MS Excel 2010. Лекция 1: Графический метод оптимизации линейных моделей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 14.11.2012 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 103 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Задача 1.3. Нелинейная задача

При застройке нового микрорайона требуется определить месторасположение нового торгового центра. Для обеспечения удобства всех жителей микрорайона необходимо так расположить торговый центр, чтобы суммарное расстояние переходов от него до жилых массивов было бы минимальным, а расстояние от каждого жилого массива до торгового центра не превышало бы 5. Координаты жилых массивов приведены в таблице 1.

Таблица 1.1. Таблица
	Координаты жилых массивов
	X	Y
Жилой массив 1	2	8
Жилой массив 2	10	9
Жилой массив 3	5	2
Жилой массив 4	11	9

На рисунок 1.4 представлена наглядная схема расположения жилых массивов (1), (2), (3), (4). Между ними должен быть размещен торговый центр ТЦ с координатами Х_0 , Y_0 .

увеличить изображение
Рис. 1.4. — Схема расположения жилых массивов

На рисунке показано, как вычисляют расстояния L_3 между жилым массивом (3) и торговым центром: L_3 является гипотенузой треугольника с катетами (X_0-X_3) и (Y_0-Y_3) . Аналогичным образом определяются и другие расстояния.

Математическая модель приведена в таблице:

Таблица
Формула	Назначение	Примечание
$\sqrt{(X_0-x_i)^2+(Y_0-y_i)^2}$	Расстояние между жилым массивом и торговым центром	, — координаты торгового центра, , — координаты жилых массивов
$\sum_{i=1}^n\sqrt{(X_0-x_i)^2+(Y_0-y_i)^2}$	Суммарное расстояние между жилыми массивами и торговым центром	— количество жилых массивов
$\sqrt{(X_0-x_i)^2+(Y_0-y_i)^2}\Rightarrow min$	Суммарное расстояние между жилыми массивами и торговым центром должно быть минимальным	Целевая функция

Построим прямоугольную систему координат, где по оси отложим значения X_0 , а по оси отложим значения Y_0 . Значения x_1 и x_2 неотрицательны, поэтому можно ограничиться рассмотрением первого квадранта. Из условий задачи и рисунка 1.4 следует, что X_0 находится в интервале 2 – 11, а Y_0 не выходит из интервала 2 – 9.

Из формулы расстояния между жилым массивом и торговым центром выразим явным образом зависимость Y_0 от X_0 :

$\sqrt{(X_0-x_i)^2+(Y_0-y_i)^2}\le 5$

$(Y_0-y_i)^2\le 25-(X_0-x_i)^2$

$Y_0\le y_i\pm \sqrt{25-(X_0-x_i)^2}$

Знак + перед корнем берется для i=3 , в остальных случаях выбираем знак (-).

По последней формуле построим графики зависимости координат торгового центра от координат жилых массивов (1), (2), (3), (4). Они показаны на рисунок 1.5.

увеличить изображение
Рис. 1.5. Нахождение решения нелинейной задачи

Каждая из кривых делит координатную плоскость на две части. Одна часть расположена выше прямой, вторая ниже. Чтобы найти ту полуплоскость, которая соответствует неравенствам, необходимо взять любую точку, принадлежащую одной из полуплоскостей (например, точку 7,4) и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет верным, то данная полуплоскость является искомой. Эти полуплоскости выделены штриховкой у каждой кривой.

Областью допустимых решений является замкнутый криволинейный треугольник АВС . Координаты торгового центра, выбранные в этом треугольнике, удовлетворяют заданным неравенствам. Оптимальное решение следует искать в одной из вершин треугольника. Решая совместно уравнения кривых, получим следующие результаты:

Уравнения
$Y_0=2+\sqrt{25-(X_0-5)^2}$ $Y_0=9-\sqrt{25-(X_0-11)^2}$	6,53	6,76
$Y_0=8-\sqrt{25-(X_0-2)^2}$ $Y_0=2+\sqrt{25-(X_0-5)^2}$	6,82	6,66
$Y_0=8-\sqrt{25(X_0-2)^2}$ $Y_0=9-\sqrt{25-(X_0-11)^2}$	6,73	6,39