Параметрические кривые и их растеризация

Растеризация кривых Безье

Прямой метод

(определяются по выражению (4.2)). Подберем шаг так, чтобы и были меньше размера стороны пикселя d (если мы работаем в пиксельных координатах, то это 1 ), т. е. мы не пропустим ни одного пикселя при таких приращениях. Т.к. и - многочлены, то, соответственно, легко найти максимумы их модулей M_x и M_y на отрезке [0, 1]. Положим M = max(M_x,M_y), тогда, взяв , получим что смещения по x и по y при каждом шаге не превосходят длины стороны пикселя.

// x(t), y(t) заданы в пиксельных координатах => d = 1
// M - максимум модулей dx/dt и dy/dt на всем отрезке [0,1]
// round(x) - округляет x до ближайшего целого

dt = 1 / M;
t = 0;
while(t < 1)
{
      x = x(t); // см. выражение 4.2
      y = y(t); // см. выражение 4.2
      plot( round(x) , round(y) );
      t += dt;
}

Недостаток данного алгоритма состоит в том, что при малых смещениях по x и y много итераций проходит зря, т.к. происходит повторная закраска одних и тех же пикселей.

Метод разбиения

Предложен де Кастелье. Рассмотрим пример этого алгоритма для кривой 4-го порядка с опорными точками P₀P₁P₂P₃ (см. рис. 4.6). Если рассмотреть участок между P₀ и , то он может быть задан как кривая Безье с опорными точками (почему это так, подробнее см., например, в [28]).

Аналогичные рассуждения справедливы и для участка между и P4. Будем применять этот алгоритм рекурсивно для левой и правой частей, пока кривая не выродится в прямую с точностью до пикселя, а это так или иначе (все точки попадут в один пиксель) произойдет.

plot(P) рисует пиксель с координатами, равными округленным до целых координатам точки P.

BBox(P₁, . . . ,P_n) вычисляет наименьший ограничивающий прямоугольник для точек P₁, . . . ,P_n.

// работаем в пиксельных координатах
// (размер пикселя равен 1x1)
// P0 - начальная точка кривой
// Pn - конечная точка кривой

DrawCurve(P0,P1, . . . ,Pn)
{
      // Проверка на завершение
      if( макс. длина ребра BBox(P0,P1, . . . , Pn) < 1 )
            return;
      if( P0,P1, . . . , Pn лежат на отрезке P0Pn
            с точностью до пикселя )
      {
            Нарисовать отрезок P0Pn;
            // (см. лекцию о растеризации отрезков)
            return;
      }

      Найти P01,P02, . . . , P0{n-1} для t = 0,5;
      // используя (4.1)
      Найти P0n для t = 0,5; // используя (4.1)
      Найти P1{n-1},P2{n-2}, . . . , P{n-1}1 для t = 0,5;
      // используя (4.1)

      plot(P0n);

      // Нарисовать половинки (см. рис. 4.6)
      DrawCurve( P0,P01, . . . , P0n);
      DrawCurve( P0n,P1{n-1}, . . . , Pn);
}

Рис. 4.6. Построение кривой Безье методом разбиения.

Для построения кривых по большому множеству опорных точек пришлось бы использовать кривые Безье большого порядка, что привело бы к громоздким вычислениям; к тому же часто желательным является локальное влияние на форму кривой (для кривых Безье это не так). Поэтому чаще используют