Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы
Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений
Как мы отметили ранее, совокупность решений Xодн однородной системы линейных уравнений с матрицей является линейным пространством, подпространством в Kn.
Теорема 9.17.1. Если r=r(A)<n, то (т. е. размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных). (Если r(A)=n, то система линейных уравнений имеет лишь нулевое решение.)
Доказательство. Для удобства записи переупорядочим неизвестные, если это необходимо, так, чтобы
![\underset{\text{ r главных неизвестных}}{x_1,...,x_r} \quad \text{и}\quad \underset{\text{ n-r свободных неизвестных}}{x_{r+1},...,x_n}.](/sites/default/files/tex_cache/79135b607f55b56947e935f8c2d743ad.png)
![E=E_{n-r}\in M_{n-r}(K)](/sites/default/files/tex_cache/b6df438c420943bac50bda2843eecfcc.png)
![(n-r)\times (n-r)](/sites/default/files/tex_cache/f575c71c95beb0658d9aafcc1eb75bcb.png)
![\begin{align*} & \alpha_1 = (c_{11}, ..., c_{1r}, 1,0,...,0),\\
& \quad \vdots\\ & \alpha_{n-r} =
(c_{(n-r)1},...,c_{(n-r)r},0,0,...,1).
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/211d4cd172793b2620421390dd8f3cba.png)
![\beta=(\beta_1,...,\beta_{n-r},\beta_{n-r+1},...,\beta_n)\in X_{\textup{одн}}\text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/925be57e5408de26079b426e4506c4ec.png)
![\gamma=\beta-\beta_{n-r+1}\alpha_1-...-\beta_n\alpha_{n-r}= (\gamma_1,...,\gamma_{n-r},0,...,0)\!\in\! X_{\textup{одн}}.](/sites/default/files/tex_cache/f8ff46041887d409fb39ca0d1a36deb0.png)
![(0,...,0,0,...,0)\in X_{\textup{одн}},](/sites/default/files/tex_cache/f50ca3693e12e4b5012763745536e812.png)
![\gamma](/sites/default/files/tex_cache/334de1ea38b615839e4ee6b65ee1b103.png)
![\gamma=0](/sites/default/files/tex_cache/74153503dc81c057a8f2bc8111bba1bd.png)
![\beta=\beta_{n-r+1}\alpha_1+...+\beta_n\alpha_{n-r}.](/sites/default/files/tex_cache/63651902ba19bfa9ddc557ecaa4864ce.png)
![\{\alpha_1,...,\alpha_{n-r}\}](/sites/default/files/tex_cache/4d3bac6c1d39a089b7dcfcd28e60a472.png)
![\dim X_{\textup{одн}}=n-r](/sites/default/files/tex_cache/d8e0c2c89f849347d782a32d5254f87c.png)
Замечание 9.17.2. Если вместо строк единичной матрицы En-r для свободных неизвестных брать строки всевозможных матриц (т. е.
,
), то этот алгоритм позволяет построить все базисы в Xодн .
Замечание 9.17.2. Любой базис линейного пространства решений Xодн однородной системы линейных уравнений называется в ряде алгебраических текстов " фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений ".
Задание любого подпространства в _K V = K^n как пространства решений однородной системы линейных уравнений
Пусть K - поле, ,
- подпространство в Kn, являющееся линейной оболочкой строк u1,...,um, т. е. множеством всех линейных комбинаций строк u1,...,um. Мы найдем такую матрицу
, что множество решений однородной системы линейных уравнений
![A
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/1b33223657332aa329fc5965663b52fc.png)
Если U - нулевое подпространство, то в качестве A мы можем взять любую матрицу с ненулевым определителем (например, A=E ). Если U=Kn (это эквивалентно тому, что
), то в качестве A мы можем взять нулевую матрицу из Ms,n,
. Если же
, то пусть ui=(ui1,ui2,...,uin),
,
.
Рассмотрим матрицу , B=(bij), bij=uij,
,
, и однородную систему линейных уравнений
![]() |
( 9.2) |
![r=r(B)=\dim U](/sites/default/files/tex_cache/5f96c997340eb3e181db64b05c6d3fd5.png)
![1 \leq r < n](/sites/default/files/tex_cache/60f850b575b2c68f48ecd5a4f5640bb3.png)
![1 \leq r<n](/sites/default/files/tex_cache/0bd677c1446b00fc4ef5489a6eaf3491.png)
![1 \leq s<n](/sites/default/files/tex_cache/4e5fd75d8cef7ae9be8413f8f6a3b825.png)
Пусть строки образуют фундаментальную систему решений системы (9.2), vi=(vi1,...,vin),
,
. Пусть
, A=(aij), aij=vij,
,
. Покажем, что A - искомая матрица.
Действительно, по построению матрицы A любая строка из U (как линейная комбинация строк u1,...,um ) является решением однородной системы уравнений
![]() |
( 9.3) |
![U\subseteq X_{\textup{одн}}](/sites/default/files/tex_cache/0832a4cb82d054df2d3be339df30aa29.png)
![\dim X_{\textup{одн}} = n-r(A) = n-s = n-(n-r) = r = \dim U.](/sites/default/files/tex_cache/1f6fa80a0416c347c5e4e05d8a7a65b8.png)
В заключение отметим, что матрица A определена неоднозначно. Например, другая матрица A' может быть получена с помощью другой фундаментальной системы решений системы (9.2).
Полученное задание линейных подпространств оказывается полезным при решении ряда практических задач. Например, пусть - линейно независимые строки, m<n. Требуется найти такие строки um+1,...,un, что {u1,...,un} - базис линейного пространства Rn. Как и выше, пусть v1,...,vs - какая-нибудь фундаментальная система решений системы (9.2) (в нашем случае
, s=n-m ). Положим um+1=v1,...,un=vn-m. Покажем, что {u1,...,un} - базис в Rn. Достаточно показать, что строки u1,...,un линейно независимы над R. Пусть
и
. Тогда для строки
![z=\alpha_1 u_1+...+\alpha_m u_m=-\alpha_{m+1}u_{m+1}-...-\alpha_n u_n](/sites/default/files/tex_cache/f6aa45920db9b3b58f885449373a1c27.png)
![z\in U\cap V](/sites/default/files/tex_cache/8651d574a9b7c16dcf82290b532687cf.png)
![V=\langle u_{m+1},...,u_n\rangle](/sites/default/files/tex_cache/acc53ed1516b82cb33a13e9b69735397.png)
![z_i\in R](/sites/default/files/tex_cache/7095e05588b9cf1530d8269da858870a.png)
![1 \leq i \leq n](/sites/default/files/tex_cache/9624629e1efab799afc4100ebba1a048.png)
![V](/sites/default/files/tex_cache/48201a4159c35a912875d8164fa537fd.png)
![(z_1,...,z_n)
\begin{pmatrix}
z_1\\
\vdots\\
z_n
\end{pmatrix}=0,](/sites/default/files/tex_cache/f5c4cb5f813e12763f18800f922750a6.png)
![z_1^2+...+z_n^2=0](/sites/default/files/tex_cache/64c443a49068fb6ff636295a34a31c66.png)
![z=0\in R^n](/sites/default/files/tex_cache/b64c62e0b37a7c1c066ec49a6929c88a.png)
![\alpha_1 u_1+...+\alpha_m u_m=0 (\in R^n) = \alpha_{m+1}u_{m+1}+...+\alpha_nu_n.](/sites/default/files/tex_cache/d3af2478e70e5bcd2982342996a51c11.png)
![\alpha_1=...=\alpha_m=0](/sites/default/files/tex_cache/79f02814a96b7cc416795c48d2d9e747.png)
![\alpha_{m+1}=...=\alpha_n=0](/sites/default/files/tex_cache/cf1b203d5a5f72b1c326872fdab5e648.png)
![\alpha_1=...=\alpha_n=0](/sites/default/files/tex_cache/68dfa59aaefe911ff2a03af2a3cc4688.png)
Таким образом, мы рассмотрели два способа задания линейных подпространств в K V=Kn :
- как множество решений Xодн однородной системы линейных уравнений;
- как линейную оболочку
строк
.
При этом мы научились переходить от первого задания ко второму (фундаментальная система решений) и от второго задания к первому. Первый способ задания удобен для задания пересечения подпространств (надо к первой однородной системе уравнений приписать вторую). Второй способ задания удобен для задания суммы подпространств:
![\langle u_1,...,u_m\rangle+ \langle w_1,...,w_t\rangle= \langle u_1,...,u_m,w_1,...,w_t\rangle.](/sites/default/files/tex_cache/7faf0ca4c1cb1ec8691bc5d41d1fa1d7.png)
Пример 9.18.1. Пусть (линейная оболочка строк u1=(1,1,0,0), u2=(0,1,1,0), u3=(0,0,1,1) ),
(линейная оболочка строк v1=(1,0,1,0), v_2=(0,2,1,1), v3=(1,2,1,2) ). Необходимо найти базисы линейных пространств V1+V2 и
, при этом строки u1, u2, u3, v1, v2, v3 выразить через базис пространства V1+V2.
Решение Запишем строки u1, u2, u3, v1, v2, v3 по столбцам и приведем полученную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:
![\begin{mult}
\begin{gathered}
u_1\ u_2\ u_3\,\,\ \! v_1\ v_2\ v_3 \kern53mm
\\
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & \phm 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1 & \phm 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & \phm 0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to{}
\end{gathered}
\\[3mm]
\begin{gathered}
\kern55mm u'_1\,\ u'_2\,\ u'_3\ \ \ v'_1\;\ \ \ v'_2\;\ \ \ v'_3
\\
{}\to
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & -1 & \phm 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & \phm 2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & \phm 0 & \phm 1 & 2
\end{array}\right)\to
\left(
\begin{array}{cccccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 0 & \phm 1\\
\cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & -1 & \phm 2 & \phm 1\\
\cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & \phm 2 & -1 & \phm 0\\
\cline{3-3}
0 & 0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{\phm 1} & -1 & -1\\
\cline{4-6}
\end{array}\right).
\end{gathered}
\end{mult}](/sites/default/files/tex_cache/dd0dbbb69869493ca81113a368c90d5a.png)
![V_1+V_2=\langle u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3\rangle](/sites/default/files/tex_cache/5933112857bb4d36ba3d2dd499895e59.png)
![\dim (V_1+V_2)=4](/sites/default/files/tex_cache/0d6b6708d90e39be1f1075308111047e.png)
![v'_2+v'_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}=
u'_1+u'_2+u'_3.](/sites/default/files/tex_cache/4473cffcf8b6bd4be4a81c0045783bc6.png)
![\left(
\begin{array}{cccccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 2\\
\cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 0\\
\cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & \phm 1 & \phm 2\\
\cline{3-3}
0 & 0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{\phm 1} & -1 & -1\\
\cline{4-6}
\end{array}\right).](/sites/default/files/tex_cache/903780c79a6ebbe386ab86e01355c219.png)
![V_1\cap V_2](/sites/default/files/tex_cache/76ed5504b689186f49b6e6796d3e44c5.png)
Для V1:
![\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 1 & 0 & 0\\
\cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 1 & 0\\
\cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 1\\
\cline{3-4}
\end{array}
\right)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix},](/sites/default/files/tex_cache/7f0853c78901dcdee0b0896cec35f0de.png)
![]() |
( 9.4) |
Для V2 :
![\begin{align*} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} \!=\!
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to\!
%{}
%\\[3mm]
%& \quad {}\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 2 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} \!=\!
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 1 & \phm 0\\
\cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & \phm 1\\
\cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & -1\\
\cline{3-4}
\end{array}\right)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/9b3e5cd07c99c5ba9b0cfe865a6061bc.png)
![]() |
( 9.5) |
Ясно, что система
![\begin{pmatrix}
-1 & \phm 1 & -1 & 1
\\
-1 & -1 & \phm 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1
\\
x_2
\\
x_3
\\
x_4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0
\\
0
\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/3ac85a1d0878d5c79152c3597292752f.png)
![V_1\cap V_2](/sites/default/files/tex_cache/76ed5504b689186f49b6e6796d3e44c5.png)
Решим эту систему:
![\begin{align*} & \begin{pmatrix}
-1 & \phm 1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & \phm 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\begin{pmatrix}
\phm 1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 1 & \phm 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & -1 & 1 & -1\\
\cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{-2} & 2 & \phm 0\\
\cline{2-4}
\end{array}\right)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix},
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/514a0838571b1cf6b55788bbade81424.png)
![\begin{align*}
u &= (0,1,1,0),\\
v &= (1,0,0,1).
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/11c9e819a608584c2f0cd3d2091f92b2.png)
![V_1\cap V_2](/sites/default/files/tex_cache/76ed5504b689186f49b6e6796d3e44c5.png)