Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn
Алгебра матриц
Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn
Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) - совокупность всех квадратных
-матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов
, так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j) )
и умножения матрицы на число
D=cA ( dij=caij для каждого места (i,j) ).
Как и для совокупности строк Kn=M1,n(K), так и для Mm,n(K) непосредственно проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства (в частности, нейтральным элементом в Mm,n(K) будет нулевая матрица 0 с нулями на всех местах, -A=(-1)A ).
Произведение матриц
Если



Примеры вычисления произведения AB
Пример 8.2.1.

Пример 8.2.2.

Пример 8.2.3.

Пример 8.2.4. Пусть




Матричные единицы Eij
Обозначим через Eij матрицу, в которой на пересечении i -й строки и j -го столбца стоит 1, а на всех остальных местах стоит 0. Тогда в Mn(K) имеем



Важные следствия умножения матричных единиц
Следствие 8.3.1. Так как в Mn(K) при

а) умножение матриц некоммутативно;
б) имеются делители нуля (ненулевые элементы, произведение которых равно нулю).
Задача 8.3.2. Найти в Mn(K) все делители нуля. Точнее, доказать, что для следующие условия равносильны:
-
AX=0 для некоторой матрицы
;
-
YA=0 для некоторой матрицы
;
- |A|=0.
Матрицы элементарных преобразований
Следствие 8.3.3. Пусть ,
, и


а) Если ,
и
, то матрица
получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 1-го типа: A'i=Ai+cAj.
б) Если ,
и
, то матрица
получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 1-го типа:
.
Следствие 8.3.4. Пусть и tij - матрица, полученная из единичной матрицы
перестановкой i -й и j -й строк (или, что то же самое, перестановкой i -го и j -го столбцов). Ясно, что |tij|=-1.
а) Если и
, то матрица A'=tijA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 2-го типа: A'i=Aj, A'j=Ai.
б) Если и
, то матрица A'=Atij получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 2-го типа:
,
.
Следствие 8.3.5. Пусть ,



а) Если и
, то


б) Если и
, то



В частности, умножение слева матрицы A на матрицу ,
, равносильно применению к строкам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа A'i=cAi (умножение справа на матрицу такого типа дает применение к столбцам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа
).
Замечание 8.3.6. Ясно, что и
для E=En,
, т. е. \eemph{скалярная} матрица
перестановочна с любой другой матрицей из Mn(K).
Задача 8.3.7. Пусть K - поле, ,
,




Следствие 8.3.8 (матричная запись системы линейных уравнений). Для системы линейных уравнений



Таким образом, строка (k1,...,kn) является решением системы линейных уравнений, если столбец


Замечание 8.3.9 (Штрассен, 1969). Умножение двух -матриц можно осуществить с использованием 7 умножений и 18 сложений (вместо 8 умножений и 4 сложений в обычном определении произведения матриц
