НОУ ИНТУИТ | Теория экспериментов с конечными автоматами. Лекция 19: Интервальная арифметика над конечным полем и ее приложения к теории экспериментов с автоматами

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 367 / 35 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00

ISBN: 978-5-9963-0268-0

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 3 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Заметим, что множество IGF(p) обобщенных интервалов является замкнутым относительно введенных бинарных операций.

Как следует из формулы (19.4), любая бинарная операция над обобщенными интервалами сводится к соответствующей операции над обычными интервалами поля GF(p) .

Введем унарную операцию над обычным интервалом $x=[\underline x,\bar x] \in IGF(p)$ :

$-x=[-\underline x,-\bar x]$

где " $\xi$ " - это элемент поля GF(p) , обратный к элементу $\xi$ по сложению, т. е. такой, что $\xi \oplus (-\xi)=0$ . Аналогичную операцию для обобщенного интервала $X=Y_{i\in I}x_i$ определим так:

$-X=Y_{i\in I}(-x_i)$

С использованием этой операции бинарная операция вычитания выражается через операцию сложения:

( 19.5)

Например, при p=5, a=[0,1], b=[4,1] , тогда [0,1] - [4,1] = [0,1] + (-[4,1]) = = [0,1] + [4,1] = [4,2] .

Введем операцию умножения элемента $\alpha \in GF(p)$ на обобщенный интервал :

$\alpha \cdot X=Y_{\xi \in X}[\alpha \odot \xi, \alpha \odot \xi]$

( 19.6)

Используя эту операцию, бинарную операцию умножения обобщенных интервалов можно записать в виде

$AB=Y_{\alpha \in A}\alpha B$

( 19.7)

Например, если p=5, а=[2,4], b=[1,2] то имеем

$a \cdot b=2[1,2] \bigcup 3[1,2]\bigcup 4[1,2]=[2,2]\bigcup [4,4]\bigcup [3,3]\bigcup [1,1] \bigcup [3,4]=[1,4]$

И наконец, операцию деления обобщенных интервалов можно записать в виде

$A/B=A(Y_{\beta \in B}1/\beta )$

( 19.8)

где $1/ \beta$ - это элемент GF(p) , обратный элементу $\beta$ по умножению, т. е. такой, что $\beta \cdot (1/ \beta)=1$ .

Например, если p=5, a=[1,3], b=[3,4] , то

$[1,3]/[3,4]=[1,3](1/3 \bigcup 1/4)= [1,3]*(2 \bigcup 4)=2*[1,3]\bigcup 4*[1,3]=[1,2] \bigcup [4,4]\bigcup [2,4]=[1,4].$

Остановимся на свойствах арифметических операций в IGF(p) . Напомним, что в классической интервальной арифметике [2] функция

$\zeta =f(\xi, \eta)$

где $f(\xi, \eta)=\xi * \eta , *\in \{+,-, \cdot, /\}, \xi \in x, \eta \in y, x,y \in I(R)$ (при делении предполагается, что $0 \notin y$ ) - непрерывные функции на компактном множестве, и потому $f(\xi, \eta)$ принимает как наименьшее, так и наибольшее значения. Таким образом, x*y есть также замкнутый вещественный интервал, который полностью заполнен вещественными числами, являющимися результатами упомянутых бинарных операций над соответствующими числами. При этом границы результата выражаются через операции с границами операндов. Некоторая, но не полная, аналогия справедлива и в интервальной арифметике над полем GF(p) . Исходя из указанной аналогии, найдем формулы, позволяющие выражать результаты бинарных операций над обычными интервалами через их границы.

Введем понятие ширины обобщенного интервала $X=Y_{i \in I}x_i$ и обычного интервала $x_i=[\underline x_i, \bar x_i]$ , обозначаемых далее как w(X) и w(x_i) соответственно:

$w(X)-\sum_{i \in I}w(x_i),\\ w(x_i)= \begin {cases} \bar x_i- \underline x_i+1,\ \mbox{если} \ x_i \ \mbox {правильный интервал},\\ \bar x_i-x_i+p+1, \ \mbox{если} \ x_i \ \mbox {неправильный интервал} \end {cases}$

Понятно, что w(x_i) и w(X) - это число элементов в соответствующих интервалах. Очевидно также, что $w(x_i)=\bar x_i \circleddash \underline x_i+1$ в любом случае.

Пусть $a=[\underline a, \bar a], b=[\underline b, \bar b]$ - обычные интервалы поля GF(p) , тогда для сложения интервалов справедлива следующая формула

$a+b= \left \{ \bedin {matrix} [\underline a \oplus \bar b, \bar a \oplus \underline b], \qquad \mbox{если} \qquad w(a)+w(b) \le p,\\ [0, p-1] \qquad \mbox{в противном случае} \qquad \end {matrix}$

Доказательство этой формулы приведено в [31].

Аналогично, для операции вычитания обычных интервалов справедлива следующая формула

$a-b= \left \{ \begin {matrix} [\underline a \circleddash \bar b, \bar a \circleddash b], \ \mbox {если} \ w(a)+w(b) \le p,\\ [0, p-1] \ \mbox {в противном случае} \qquad \end {matrix}$

Произведение и частное интервалов представить через операции с границами сомножителей в общем случае не удается. Ситуация по сравнению с классической интервальной арифметикой осложняется в связи с тем, что, к примеру, для произведения интервалов не выполняется даже включение: $ab \subseteq [\underline a \odot \underline b, \bar a \odot \bar b].$

Следующее утверждение, доказательство которого приведено в [31], касается свойств введенных интервальных операций и самих интервалов.

Теорема 19.1. Пусть $A,B,C \in IGF(p)$ , тогда:

(коммутативность);
(ассоциативность);
$(\forall A \in IGF(p)) A=A+[0,0]=[0,0]+A, A*[1,1]=[1,1]*A$ , то есть и являются единственными нейтральными элементами для сложения и умножения соответственно;
не имеет делителей нуля;
Произвольный невырожденный интервал из не имеет обратного ни по сложению, ни по умножению, но $0 \in A-A, 1 \in A\A$ ;
$A(B+C) \in AB+AC$ (субдистрибутивность);
$\lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda B$ , где $\lambda \in GF(p)$ (дистрибутивность умножения на число);
$\forall \alpha \in GF(p) [\alpha, \alpha -1]=[0, p-1]$ ;
$w(A*B) \le w(A)*w(B)$ , где $*\in \{\oplus, \circleddash , \odot, \oslash\}$ ;
если - обычные интервалы и ;
$w(\lambda A)=w(A), \lambda \in GF(p)$ и $\lambda \ne 0$ .

Заметим, что IGF(p) с введенными операциями сложения и умножения на число не является линейным пространством, и даже квазилинейным, так как не выполняется аксиома линейности

$(\lambda +\mu)A=\lambda A + \mu A,$

где

$\lambda , \mu \in GF(p), A \in IGF(p)$

Как и в классической интервальной арифметике, в интервальной арифметике над конечным полем GF(p) возникают задачи поиска решений интервальных уравнений и систем. Кратко остановимся на этом.

Рассмотрим уравнение относительно Х

( 19.9)

зависящее от некоторых параметров $(A_1, \dots, A_s)^T$ , где $A_i, B \in IGF(p), i=\overline {1,s}, f(A,X)$ - рациональное выражение, которое состоит из интервалов A,X соединенных знаками арифметических операций.

Определение 19.4. Назовем алгебраическим решением уравнения (19.9) такой обобщенный интервал $X \in IGF(p)$ , что при его подстановке в (19.9) получается точное равенство.

Пусть, например, p=5 и рассматривается уравнение [1,2]+X=[4,2] . Можно убедиться, что интервалы $X_1=[0,0] \bigcup [3,3]$ и $X_2=[3,0] ([3,0]=[0,0] \bigcup [3,3] \bigcup [4,4])$ , подставленные в заданное уравнение, дают точное равенство, т. е. оба этих интервала являются алгебраическими решениями. Из этого примера следует, что алгебраическое решение уравнения A+X=B в общем случае не единственно.

Следующие определения множеств решений были введены в [51] для множеств решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений, здесь эти множества решений определяются для уравнений (19.9).

Определение 19.5. Назовем объединенным множеством решений уравнения (19.9) следующее множество элементов:

$X_{\exists \exists }=\{\xi \in GF(p)|( \exists \alpha \in A)( \exists \beta \in B)f(\alpha, \xi)=\beta \}$

Так, для уравнения [1,2]+X=[4,2] объединенное множество решений есть $X_{\exists \exists }=[0,4]$ .

Определение 19.6. Назовем допустимым множеством решений уравнения (5.9) следующее множество:

$X_{\forall \exists }=\{\xi \in GF(p)|(\forall \alpha \in A)( \exists \beta \in B)f(\alpha , \xi) = \beta \}$

Для рассмотренного выше примера $X_{\forall \exists }=[3,0]$ , т. е. для этого уравнения имеет место включение $X_{\forall \exists } \subset X_{\exists \exists }$ . Легко показать, что такое включение справедливо и в общем случае. Кроме того, для этого же примера $X_{\forall \exists }=X_2$ , т. е. допустимое множество решений совпадает с одним из алгебраических решений.

Определение 19.7. Назовем управляемым множеством решений уравнения (19.9) следующее множество:

$X_{\forall \exists }=\{\xi \in GF(p)|(\forall \beta \in B)( \exists \alpha \in A) \vdots f(\alpha, \xi )=\beta \}$

Так, для р=5 уравнение [1,3]+X=[0,1] управляемое множество решений есть $X_{\exists \forall }=[3,4]$ .

Теорема 19.2. Линейное уравнение a+X=b , где a,b - обычные интервалы над полем GF(p) , имеет алгебраическое решение в виде обобщенного интервала тогда и только тогда, когда $w(a) \le w(b)$ .

Доказательство.

Необходимость. Докажем ее от противного. Пусть w(a)>w(b) . Покажем, что в этом случае рассматриваемое уравнение решений не имеет. Пусть $a=\{\alpha_1, \dots, \alpha_{\mu}\}$ . Выберем произвольный элемент $\xi \in GF(p)$ и построим множество $a_{\xi}=\{\alpha_1 \oplus \xi, \dots, \alpha_{\mu} \oplus \xi\}$ . Очевидно, что в $a_{\xi}$ все элементы попарно различны т. е. $w(a_{\xi})=\mu$ . Элемент $\xi \notin X$ поскольку среди элементов $A_{\xi}$ существует по крайней мере один такой элемент $a_i \oplus \xi \notin b$ ибо $w(b)< \mu$ . Из произвольности элемента $\xi$ следует, что в нет ни одного элемента GF(p), т. е. алгебраическое решение пусто.

Достаточность. Пусть $w(a) \le w(b)$ тогда алгебраическое решение есть $X=[\underline b \circleddash \underline a, \bar b \circleddash \bar a], a+X=[a,a]+[ \underline b \circleddash \underline a, \bar b \circleddash \bar a]= \underline a \oplus \underline b \circleddash \underline a, \bar a \oplus \bar b \circleddash \bar a]=[ \underline b, \bar b]=b$ . При этом по свойству 11 в теореме 19.1 w(b)=w(a +X)=w(a)+w(X)-1 . Отсюда следует, что w(b)-w(a)=w(X)-1 Тогда, учитывая, что $w(a) \le w(b)$ , получим $w(X) \ge 1$ , т. е. множество не пусто.

Заметим, что теорема 19.2 для случая, когда в уравнении A+X=B вместо обычных интервалов использованы обобщенные интервалы, неверна. В самом деле, пусть $p=7, A+[1,1] \bigcup [3,3] \bigcup [5,5], B+[6,2]$ . Перебором можно проверить, что уравнение в этом случае алгебраического решения не имеет.

Для существования алгебраического решения уравнения AX=B условие $w(A) \le w(B)$ является необходимым, но не является достаточным даже для случая, когда и - обычные интервалы. Например, при p=7 уравнение [2,4]*X=[2,5] алгебраического решения не имеет, хотя w(A)=3 < w(B)=4 . В то же время это уравнение имеет объединенное множество решений $X_{\exists \exists }=[1,6]$ и допустимое множество решений $X_{\forall \exists }=[1,1] \bigcup [6,6]$ .

Для уравнения

введенные множества решений определяются следующим образом:

$X_{\exists \exists }=Y_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \circleddash \alpha)=B_A$

( 19.10)

$X_{\forall \exists }=I_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \circleddash \alpha)$

( 19.11)

$X_{\forall \exists }=I_{\beta \in B}Y_{\alpha \in A}(\beta \circleddash \alpha)$

( 19.12)

Для уравнения

где

$0 \notin A$

множество решений определяются аналогично:

$X_{\exists \exists }=Y_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \oslash \alpha)=B/A$

( 19.13)

$X_{\forall \exists }=I_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \oslash \alpha)$

( 19.14)

$X_{\forall \exists }=I_{\beta \in B}Y_{\alpha \in A}(\beta \oslash \alpha)$

( 19.15)

Равенства (19.10)-(19.12), (19.13)-(19.15) следуют из определения множеств $X_{\exists \exists}, X_{\forall \exists }, X_{\exists \forall}$ и определения теоретико-множественных операций объединения и пересечения.

Рассмотрим пример. Пусть p=7 и уравнение имеет вид

Для наглядности построим таблицу деления $\beta \oslash \alpha$ , где $\beta \in [2,5], \alpha \in [2,4]$ .

$\alpha \ \beta$	2	3	4	5
2	1	5	2	6
3	3	1	6	4
4	4	6	1	3

Объединение всех элементов строк (столбцов) таблицы составляет объединенное множество решений $X_{\exists \exists}=[1,6]$ . Пересечение элементов строк таблицы составляет допустимое множество решений $X_{\forall \exists }=[1,1] \bigsup [6,6]$ . Пересечение элементов столбцов таблицы пусто, поэтому $X_{\exists \forall}= \varnothing$ и управляемых решений уравнение не имеет.

Теорема 19.3. Все множество решений уравнений A+X=B и AX=B и алгебраическое решение, если оно существует, включаются в объединенное множество решений, т. е. в B-A для уравнения A+X=B и в $B\A$ для уравнения AX=B

Доказательство этой теоремы следует из равенств (19.10)-(19.12), (19.13)-(19.15) для множеств решений. Для алгебраического решения очевидно, что если оно существует, то все его элементы являются допустимыми решениями и, следовательно, принадлежат также и объединенному множеству решений.

Вопросы и упражнения

Дайте определение равенства двух интервалов.
Приведите определения различных типов интервалов: обычных, обобщенных, правильных, неправильных, вырожденных.
Дайте определение бинарных операций над различными типами интервалов.
Перечислите свойства интервалов и операций над ними.
Приведите определения различных типов решений интервального уравнения : алгебраического, объединенного, допустимого, управляемого.
Сформулируйте критерий существования алгебраического решения линейного интервального уравнения .

Дальше >>

Авторизоваться

Теория экспериментов с конечными автоматами

Интервальная арифметика над конечным полем и ее приложения к теории экспериментов с автоматами

Вопросы и упражнения

Вопросы и ответы