НОУ ИНТУИТ | Теория экспериментов с конечными автоматами. Лекция 12: Эксперименты в пространстве обобщенных состояний и с линейными автоматами с запаздыванием

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 370 / 36 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00

ISBN: 978-5-9963-0268-0

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 3 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Введены понятия обобщенного состояния линейного автомата, обобщенных синхронизирующих, установочных и диагностических последовательностей. Для всех таких последовательностей сформулированы критерии их существования. Рассмотрены различные типы автоматов с запаздыванием (обыкновенные, по управлению, по состоянию), и для них получены критерии существования всех типов упомянутых выше последовательностей.

Эксперименты с линейными автоматами в пространстве обобщенных состояний

Наряду с традиционным понятием состояния ЛА $\tilde A$ размерности , представляющего собой -мерный вектор, введем понятие обобщенного состояния. С этой целью зафиксируем некоторое целое положительное число $\mu$ , такое, что $1 \le \mu n$ , и вектор-столбец

$\tidle s (t)=\lbrack s_1(t), \dots, s_\mu, \underbrace{x, \dots,x}_{n-\mu раз}}\rbrack'$

( 12.1)

где - символ неопределенности, будем называть обобщенным состоянием (ОС) линейного автомата. Предполагается, что каждый символ неопределенности может принимать любое значение из поля GF(p) . Таким образом, каждому ОС линейного автомата соответствует некоторое подмножество S_n всех состояний ЛА. Далее через $\tilde {S_{\mu}}$ будем обозначать пространство обобщенных состояний ЛА. Понятно, что число обобщенных состояний в $\tilde {S_{\mu}}$ равно $p^{\mu}$ .

Вообще говоря, обобщенное состояние ЛА можно определить иначе, например, положив

$\tilde s(t)=[s_1(t), \dots, s_{i_1-1}(t), \dots, x, s_{i_1+1}(t), \dots, s_{i_{n- \mu -1}}(t_, x, s_{i_{n- \mu +1}}(t), \dots, s_n(t)]'$

( 12.2)

где $n- \mu$ штук значений координат $s_{i_j}(t), j=1, \dots, \mu$ , номера которых выбраны произвольным образом, замещены символом неопределенности . Легко показать, что путем подходящих перестановок строк и столбцов характеристических матриц линейный автомат $\hat A$ всегда может быть преобразован в такой изоморфный ему ЛА $\tilde A$ , у которого ОС (12.2) отображается при этом в ОС (12.1). Поэтому для простоты записи, но не теряя при этом общности, примем первый вариант (12.1) определения ОС.

Далее условимся о следующих обозначениях: если есть матрица, то через [H]_a обозначим матрицу с штук строками, совпадающими с первыми строками матрицы . Аналогичное обозначение используем и для вектора: $[\bar s]_a$ - это вектор размерности , у которого координаты совпадают с первыми координатами вектора $\bar s$ .

ЛА с заданной величиной $\mu$ , определяющей для ЛА пространство обобщенных состояний, условимся обозначать как $\mu$ -ЛА.

Введем для $\mu$ -ЛА понятие обобщенной диаграммы переходов (ОДП). ОДП для $\mu$ -ЛА над полем GF(p) назовем ориентированный граф, содержащий $p^{\mu}$ вершин, взаимно однозначно соответствующих каждому ОС этого автомата. Две вершины $\bar a$ и $\bar b$ в ОДП соединяются дугой, ведущей из $\bar a$ в $\bar b$ , помеченной входным символом $\bat u$ $\mu$ -ЛА, если существуют по крайней мере два таких "традиционных" состояния $\bar s$ и $\tilde s$ из S_n , что $[s]_{\mu}=\bar a, [s]_{\mu}=\bar b, \tilde s=A\bar s+B\bar u$ .

Отметим различие между "традиционной" диаграммой переходов ЛА [19] и ОДП: в "традиционной" диаграмме каждой ее дуге, помеченной входным символом $\bar u$ , соответствует единственный выходной символ (реакция ЛА на вход $\bar u$ в состоянии $\bar s$ ), а в ОДП некоторой дуге может соответствовать несколько выходных символов. Назовем ОДП сильно связной, если в ней для любой пары вершин $\bar a$ и $\bar b$ существует путь, ведущий из $\bar a$ в $\bar b$ . Соответствующий этой ОДП $\mu$ -ЛА будем называть $\mu$ -сильно связным.

Понятно, что любому пути в ОДП из $\bar a$ в $\bar b$ соответствует некоторое входное слово $\mu$ -ЛА, возможно не одно, переводящее его из ОС $\bar a$ в ОС $\bar b$ .

По аналогии с [19] $\mu$ -ЛА назовем -управляемым, если для любых двух его обобщенных состояний $\bar a$ и $\bar b$ существует входное слово длины , переводящее его из $\bar a$ в $\bar b$ . Очевидно, что -управляемый $\mu$ -ЛА является $\mu$ -сильно связным.

Теорема 12.1. $\mu$ -ЛА является $\mu$ -управляемым тогда и только тогда, когда ранг матрицы

$[L_k]_{\mu}=[A^{k-1}B, A^{k-2}B, \dots, AB,B]_{\mu}$

равен $\mu$ .

Доказательство. Пусть $[\bar s]_{\mu}$ и $[\tilde s]_{\mu}$ - различные произвольные ОС рассматриваемого $\mu$ -ЛА. По определению -управляемости существует такая входная последовательность $\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)$ длины , которая переводит $\mu$ -ЛА из $[\bar s]_{\mu}$ в $[\tilde s]_{\mu}$ . Тогда на основании формулы (1.3) можно записать:

$[\bar s]_{\mu}=[A^k \tilde s+A^{k-1}B\bar u(0)+\dots |AB\bar u(k-2)+B\bar u(k-1)]_{\mu}$

Отсюда следует, что

$[\bar s-A^k\tilde s]_{\mu}=[A^{k-1}B\bar u(0)+ \dots +AB\bar u(k-2)+b\bar u(k-1)]_{\mu}=\\ =[L_k[\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)]']_{\mu}$

Поскольку $\bar s-A^k\tilde s$ может быть любым -мерным вектором, $[\bar s-A^k\tilde s]_{\mu}$ также может быть любым $\mu$ -мерным вектором. В силу этого последнее равенство можно записать в виде

$[L_k \hat u]_{\mu}$

( 12.3)

где $\hat u=[\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)]'$ , и интерпретировать его как СЛАУ относительно неизвестных, являющихся координатами вектора $\hat u$ .

Понятно, что существование входной последовательности, переводящей $\mu$ -ЛА из произвольного ОС $[\tilde s]_{\mu}$ в произвольное ОС $[\bar s]_{\mu}$ , эквивалентно существованию решений выписанной выше системы при любых правых частях. Из алгебры известно [33], что необходимым и достаточным условием для этого является равенство ранга системы (12.3) величине $\mu$ . Заметим, что при $\mu =n$ , где - размерность ЛА, $\mu$ -сильно связность совпадает с общепринятым понятием сильно связности ЛА. Очевидно, что если ЛА размерности является сильно связным, то он будет $\mu$ -сильно связным при любом $\mu < n$ . Обратное, однако, в общем случае неверно. Действительно, рассмотрим ЛА над полем GF(2) , заданный характеристическими матрицами

$A= \left [ \begin {matrix} 0&1&0\\ 1&0&\\ 0&0&1 \end {matrix} \right ], B= \left [ \begin {matrix} 0\\ 1\\ 1 \end {matrix} \right ]$

Путем вычислений можно убедиться, что

$L_3=[A^2B,AB,B]= \left [ \begin {matrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 1&1&1 \end {matrix} \right ]$

и $\rank L_3=2$ . Тогда по теореме 12.1 этот ЛА не является сильно связным.

Положим $\mu =2$ , тогда

$[L_3]_2= \left [ \begin {matrix} 0&1&0\\ 1&0&1 \end {matrix} \right ]$

и rank [L_3]_2=2 . По теореме 12.1 рассматриваемый $\mu$ -ЛА является 2-сильно связным. Таким образом, исходный ЛА не является сильно связным, однако в пространстве обобщенных состояний он становится 2-сильно связным.

Определим теперь понятие синхронизирующей последовательности для $\mu$ -ЛА в пространстве обобщенных состояний.

Входную последовательность $\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k)$ $\mu$ -ЛА назовем обобщенной СП (ОСП), если

$\forall \bar s, \tilde s \in \tilde {S_{\mu}}\ \ [A^{k+1}\bar S+A^kB\bar u(0)+ \dots +B\bar u(k)]_{\mu}=[A^{k+1}\tilde s +A^kB \bar u(0)+ \dots +B \bar u(k)]_{\mu}$

( 12.4)

Понятно, что при $\mu =n$ , где - размерность ЛА, приведенное определение совпадает с определением обычной СП для этого же автомата. Перенося в (12.4) правую часть равенства влево и выполнив сокращения, получим

$\forall \bar s, \tilde s \in S_{\mu}\ \ [A^{k+1}\bar s - A^k \tilde s)]_{\mu}=[0]_{\mu}$

( 12.5)

где $[0]=_{\mu}$ - нулевой вектор размерности $\mu$ . Поскольку в (12.5) $\bar s$ и $\tilde s$ могут быть любыми ОС из $\tilde S_{\mu}$ , то (12.5) эквивалентно

$\forall \bar s \in S_n\ \ [A^{k+1}\bar s]_{\mu}=[0]_{\mu}$

( 12.6)

Из предиката (12.6) вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 12.2. Для того чтобы $\mu$ -ЛА $\tilde A$ имела ОСП длины k+1 , необходимо и достаточно, чтобы

$[A^{k+1}]_{\mu}=[0]_{\mu}$

Как видим, эта теорема является аналогом теоремы 1.1 для обычного ЛА, т. е. ее естественным обобщением.

По аналогии с разделом 1.2 $\mu$ -ЛА условимся называть обобщенно синхронизируемым, если для него существует ОСП.

Рассмотрим ЛА над полем GF(2) , заданный следующими характеристическими матрицами:

$A= \left [ \begin {matrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end {matrix} \right ], B= \left [ \begin {matrix} 0\\ 0\\ 0 \end {matrix} \right ]$

Поскольку $A \ne [0]$ , то для этого ЛА, как это следует из теоремы 1.1, СП длины 1 не существует. Положим $\mu =1$ и рассмотрим соответствующий 1-ЛА. Понятно, что состояние этого автомата в момент времени t+1 не зависит от состояния в момент , так как есть нулевая матрица. Более того, для этого ЛА

Из последнего равенства следует, что

Последнее означает: любая входная последовательность длины 1 переводит 1-ЛА в одно и то же состояние [0]_1 , т. е. любая такая последовательность является ОСП.

Таким образом, нами построен пример ЛА, не имеющего обычной СП некоторой фиксированной длины, но в то же время имеющего обобщенную СП такой длины.

Почти дословное повторение доказательства теоремы 1.2 позволяет установить справедливость ее аналога для $\mu$ -ЛА.

Теорема 12.3. Если для $\mu$ -ЛА существует хотя бы одна ОСП длины , то обобщенными СП для него являются любые входные последовательности длины и более.

По аналогии с обобщенными СП введем понятия обобщенных УП и ДП для $\mu$ -ЛА $\tilde A$ , полагая, что множеством его допустимых начальных состояний является множество, которое мы обозначим как $\Init (\tilde A0$ .

Входную последовательность $\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k)$ $\mu$ -ЛА назовем обобщенной УП (ОУП), если

$\forall \bar s(0), \tilde s(0) \in Init(\tilde A) \wedge_{d=0}^k[CA^d\bar s(0)+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots +CB \bar u(d-1)+D\bar u(d)=\\ = CA^d \tilde s(0)+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots +CB\bar u(d-1)+D\bar u(d)] \to\\ \to [A^{k+1}\bar s(0)+A^kB\bar u(0)+ \dots +AB\bar u(k-1)+B\bar u(k)]_{\mu}=\\ =[A^{k+1}\tilde s(0)+A^kB\bar u(0)+ \dots +AB\bar u(k-1)+B\bar u(k)]_{\mu}$

Входную последовательность $\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k)$ $\mu$ -ЛА $\tilde A$ назовем обобщенной ДП (ОДП), если

$\forall \bar s(0), \tilde s(0) \in Init (\tilde A) \wedge_{d=0}^k[CA^d\bar s(0)+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots +CB\bar u(d-1)+D\bar u(d)=\\ =CA^d \tilde s())+CA^{d-1}B\bar u(0)+ \dots + CB\bar u(d-1)+D\bar u(d)] \to [\bar s(0)]_{\mu}=[\tilde s(0)]_{\mu}$

Заметим, что содержательный смысл обобщенных УП и ДП тот же, что и обычных, но применительно к обобщенным состояниям. Ниже приводятся теоремы, которые содержат естественные обобщения результатов для обычных ЛА на ЛА, рассматриваемые в пространстве обобщенных состояний. Доказательства некоторых из этих утверждений опущены, поскольку могут быть получены за счет незначительного изменения уже приводившихся ранее доказательств.

Теорема 12.4. Для того чтобы $\mu$ -ЛА имел обобщенную УП длины k+1 , необходимо и достаточно, чтобы

$\forall \bar s \in \hat {Init}(\tilde A) (\exists k \ge 0 CA^k\bar s \ne [0]) \vee (\exists k \ge 0 [A^{k+1}\bar s]_{\mu}=[0]_{\mu})$

Здесь через $\hat {\Init}(\tilde A)$ обозначено множество состояний, представляющее собой всевозможные разности состояний из множества $\Init (\tilde A)$ .

Теорема 12.5. Если у $\mu$ -ЛА $\tilde A$ размерности ранг характеристической матрицы равен , то для него существует обобщенная УП длины 1.

Доказательство. Пусть $\bar s$ и $\tilde s$ - два различных начальных состояния $\mu$ -ЛА из множества допустимых. Через $\bar y(0)$ и $\tilde y(0)$ обозначим реакции этого автомата на входной символ $\bar u(0)$ . Пусть $[\bar {s_k}]_{\mu}$ и $[\tilde {s_k}]_{\mu}$ - состояния $\mu$ -ЛА после подачи $\bar u(0)$ . Если $\bar u(0)$ - обобщенная УП, то это означает, что

$\forall \bar s, \tilde s \in \Init (\tilde A) \bar y(0)=\tilde y(0) \to [\bar {s_k}]_{\mu}=[\bar {s_k}]_{\mu}$

Предположим, что $\bar u(0)$ не является обобщенной УП, тогда

$\exists \bar s, \tilde s \in \Init (\tilde A) \bar y(0)=\tilde y(0) \wedge [\bar {s_k}]_{\mu} \ne [\bar {s_k}]_{\mu}$

что эквивалентно

$\exists \bar s, \tilde s \in \Init (\tilde A) C(\bar s - \tilde s)=[0] \wedge [\bar {s_k}]_{\mu} \ne [\bar {s_k}]_{\mu}$

( 12.7)

Первый сомножитель в (12.7) можно интерпретировать как систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных, являющихся координатами вектор-состояния. Эта система должна иметь ненулевое решение, поскольку по предположению $\bar s \ne \tilde s$ . Из алгебры известно, что необходимым и достаточным условием для этого является выполнение неравенства

$\rank C < n$

что противоречит условию теоремы. Отсюда следует ложность предиката (12.7) и, следовательно, справедливость теоремы.

Теорема 12.6. Если для $\mu$ -ЛА размерности существует хотя бы одна обобщенная УП длины , то для этого автомата обобщенными УП являются любые входные последовательности длины и более.

Введем следующие обозначения: через $K_t^{\mu}$ и $K_t^{(\mu)}$ соответственно обозначим подматрицы матрицы

$K_t=[C, CA, \dots, CA^{t-1}]'$

содержащие первые и соответственно последние $\mu$ ее столбцов.

Теорема 12.7. Для того чтобы $\mu$ -ЛА размерности имел обобщенную ДП длины , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы $K_t^{\mu}$ был равен $\mu$ и $K_t^{(\mu)}=[0]$ .

Эта теорема является естественным обобщением теоремы 1.7. Два последующих утверждения являются аналогами теорем 1.8 и 1.9.

Теорема 12.8. Если для $\mu$ -ЛА существует хотя бы одна обобщенная ДП длины , то для него обобщенными являются любые входные последовательности длины и более.

Теорема 12.9. Если для $\mu$ -ЛА размерности существуют обобщенные ДП, то длина таких минимальных последовательностей не превосходит .

Заметим, что аналоги последней теоремы справедливы как для обобщенных СП, так и для обобщенных УП.

Дальше >>

Авторизоваться

Теория экспериментов с конечными автоматами

Эксперименты в пространстве обобщенных состояний и с линейными автоматами с запаздыванием

Эксперименты с линейными автоматами в пространстве обобщенных состояний

Вопросы и ответы