Система принятия решений на основе математической логики событий

Исчерпывающее множество событий

Ученые объяснения большей частью производят то впечатление, что бывшее ясно и понятно становится темно и запутанно.

Л.Н. Толстой. "Дневники, 1900, сентябрь."

Следующие ниже построения не могут не затронуть смысловых особенностей высказываний о событиях. Кроме чисто формальных свойств высказываний, выражающихся в их истинности или ложности, невозможно полностью абстрагироваться от содержательной сути или от контекста, в котором они звучат.

Определение 3.1. Исчерпывающее множество событий (ИМС) образуют те события, совокупность высказываний о которых покрывает весь возможный смысловой диапазон проявления объекта высказывания, и каждая допустимая ситуация характеризуется тем, что значение ИСТИНА (1) может принимать единственное высказывание из этой совокупности. (Значение 0 могут принимать все высказывания.)

Рассмотрим примеры.

1) В состав редколлегии входят трое: Иванов, Петров, Сидоров. Тогда провозглашение фамилий этих фигурантов определяет исчерпывающее множество событий при выдвижении единственного представителя коллектива в президиум собрания.

2) Наказуемое превышение скорости автомобиля делится на диапазоны: до 10%, от 10% до 20%, свыше 20%. Однако, если в регламентирующем документе заданы только диапазоны до 10% и от 10% до 100% (а что далее?), то это не будет соответствовать исчерпывающему множеству событий . Такие нестрогие определения возможного диапазона ситуаций являются причиной юридической казуистики, требующей дальнейшего исследования прецедента.

Итак, ИМС, которому соответствует множество высказываний , характеризуется тем, что при соответствующих обстоятельствах одно и только одно высказывание из этого множества может принимать значение 1. Это и определяется операцией ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, которую будем обозначать .

Очевидны главные свойства высказываний о событиях из ИМС:

( 3.1)

( 3.2)

Дерево логических возможностей. Факторное пространство событий

Для строгого логического мышления, исключающего неопределенность, приходится оперировать не отдельными событиями и даже не исчерпывающими множествами таких событий (высказываниями о них), а композициями таких множеств. Между событиями, принадлежащими различным множествам, возможна зависимость, порождающая сложные высказывания. Да и сами ИМС могут определяться и инициироваться обстоятельствами, обусловленными событиями из других ИМС. Связи между ИМС, образующие сложные высказывания, отображаются деревом логических возможностей .

Рассмотрим пример.

Пансионат для ветеранов труда обеспечивает постояльцам активный отдых круглый год. Представим схемой (рис.3.1) распорядок дня отдыхающих. Такая схема и определит дерево логических возможностей.

увеличить изображение
Рис. 3.1. Полное дерево логических возможностей

Уровни ветвления могут формироваться разными способами. Например, первый уровень можно сформировать на основе времен года и т.д. Однако в порядке рекомендации можно следовать правилу: события располагаются на более низких уровнях по сравнению с теми уровнями, которые занимают события, от которых зависят данные события.

Бабушка пишет внуку: "Зимой я после завтрака катаюсь на лошади, и летом я после завтрака катаюсь на лошади, а также весной после завтрака прогулка бывает на лошади". …Что-то ей не нравится, и она строит схему своего составного высказывания: . Несколько поразмыслив, бабушка использует вынесение за скобку: . Тогда окончательный текст сообщения принимает вид: "После завтрака я катаюсь на лошади летом или зимой, а также, бывает, и весной, — вместо прогулки". Как же бабушка определила форму того логического выражения, — функции, отображающей все возможные варианты, и даже пути, ведущие к свершению интересующего события?

Ответ следующий: необходимо на каждом пути в дереве логических возможностей , ведущем к заданному событию, построить конъюнкцию событий, образующих этот путь. Затем все такие конъюнкции объединить операцией дизъюнкции. Поскольку используются только исчерпывающие множества событий , очевидно, что эта дизъюнкция выполняется с помощью операции , т.е. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (хотя можно пользоваться значком , опираясь на действительный, "физический" смысл возможных событий).

Полученная таким способом функция вызывает естественное желание быть подвергнутой дистрибутивному преобразованию — "вынесению за скобки".

Отметим, что в результате такого способа построения искомая функция принимает вид, при котором каждая используемая переменная-высказывание входит не более одного раза.

Например, функция, отображающая такое событие в жизни бабушки, как езда на велосипеде, имеет вид: .

Однако далее будет показано, что не всегда единственного вхождения переменных можно добиться с помощью дистрибутивных преобразований. Иногда требуются дополнительные действия для его осуществления.

Определение 3.2. Совокупность всех исследуемых в данном контексте событий, т.е. множество – объединение всех рассматриваемых ИМС, образует факторное пространство событий .

Как и ранее, точку факторного пространства (ситуацию) будем обозначать .

Итак, показана возможность построения логических функций на основе высказываний о событиях из факторного пространства. Как видно из примера, факторное пространство событий отображается ветвящейся структурой на основе отдельных исчерпывающих множеств событий , входящих в его состав. Тогда подмножества, состоящие из таких ИМС, тоже являются факторными подпространствами, которые в некотором контексте можно исследовать отдельно.

Рис. 3.2. Факторное подпространство для исследований финансовых затрат на питание

Например, можно отдельно исследовать факторное подпространство, сформированное на основе первых двух уровней ветвления (рис.3.2) в приведенном на рис.3.1 дереве логических возможностей . Это может быть необходимо при планировании финансовых расходов пансионата на питание.

Можно, в соответствии с поставленной задачей (в контексте исследований), формировать другие факторные пространства событий . Например, планирование использования спортивного инвентаря по времени года приводит к целесообразности факторного пространства, структура которого показана на рис.3.3.

увеличить изображение
Рис. 3.3. Факторное пространство для планирования спортивного инвентаря

Система принятия решений

Для некоторой логической функции f от переменных из факторного пространства событий воспользуемся операцией следования (импликации) и сформируем логическое выражение вида

( 3.3)

Здесь f следует рассматривать как выражение, определяющее условие, сложившуюся ситуацию, посылку, а R – высказывание, которое рассматривается как следствие: правило поведения, значение векторной функции, указание к действию и т.д. Таким образом, возможно формирование связей вида "посылка – следствие", "если … то". При этом функция f задается на множестве ситуаций и указывает на то, что, если на некоторой ситуации она принимает значение 1 (ИСТИНА), то такое же значение принимает высказывание R, являясь руководством к действию, к принятию определенного решения.

Подобно (3.3), можно описать множество логических выражений, определяющих стройную систему управления или принятия решений в соответствии со складывающейся ситуацией в факторном пространстве событий :

( 3.4)

Определение 3.3. Система логических выражений вида (3.4), заданная на факторном пространстве (подпространстве) событий, обладающая полнотой и непротиворечивостью, называется системой принятия решений (СПР).

Поясним важность свойств, указанных в определении.

То, что система функций является полной, означает, что любая точка факторного пространства событий входит в область задания хотя бы одной из этих функций. Непротиворечивость означает, что по каждой ситуации одна и только одна из этих функций принимает значение 1, приводящее к истинности соответствующего высказывания – решения. Однако отметим, что, в действительности, на основе смыслового содержания задачи, по каждой или некоторой ситуации может быть известно более одного правильного решения, приводящего к успешным действиям. В таком случае высказывания об этих решениях могут быть объединены операцией ИЛИ, что приводит к приведенному выше предположению о непротиворечивости.

Приведем теорему, которая дает обоснование общего вида логического описания любой системы принятия решений – того вида, к которому на пути упрощения задачи рекомендуется приводить описание СПР для нейросетевой реализации.

Теорема. Любая логическая функция, входящая в состав описания системы принятия решений, может быть приведена к дизъюнкции конъюнкций высказываний о событиях.

Доказательство. Из основ математической логики (в частности, - теории булевых функций) известно, что каждая такая функция может быть представлена дизъюнктивной нормальной формой. Однако в ней, наряду с переменными, участвуют их отрицания. Ориентируясь на применение исчерпывающих множеств событий , воспользуемся (3.1) для выражения таких отрицаний. "Раскроем скобки", вновь выделив конъюнкции, объединенные операциями дизъюнкции. Упростим эти конъюнкции с помощью (3.2). Получим форму, объявленную в теореме. Теорема доказана.

Данная теорема объясняет, почему в последующих примерах преимущественно принимается именно объявленная форма описания СПР, или легко сводящаяся к ней, а отрицания событий не рассматриваются.

Пусть известная нам бабушка планирует занятия физкультурой и спортом во все времена года по времени дня: после завтрака, после обеда и после ужина. Объединяя высказывания по принципу "если … то" и пользуясь обозначениями на рис.3.1, она формирует систему принятия решений, которой, не полагаясь на память, намерена строго следовать, добившись согласия администрации.

Система имеет вид:

( 3.5)

Планируя пешую прогулку, бабушка первоначально получила следующее выражение:

Однако выше не напрасно обращается внимание на целесообразность однократного вхождения переменных в подобное выражение. (Ведь далее, при переходе к функции активации нейрона, возможно неоднократное суммирование одних и тех же переменных.) Выражение, полученное первоначально, с помощью эквивалентных преобразований привести к такому виду не удается. Тогда бабушка решает разбить это выражение на два подобных, сформировав получение одного и того же решения ("размножив" решение) на основе двух условий. Это и послужило появлению в (3.5) двух выражений, определяющих одно решение .

Легко убедиться, что все возможные ситуации факторного пространства событий охвачены, что демонстрирует полную ясность действий бабушки.

Системы принятия решений могут образовывать сложные иерархические структуры. В этом случае необходимо, чтобы высказывания-решения отображали события, образующие ИМС.