Экономико-математические модели и принятие решений

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

Итак, минимизация средних издержек - это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число - самое выгодное число поставок.

Поскольку к моменту запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

Из балансового соотношения следует, что

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии :

( 33)

Задача состоит в минимизации по . При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения,

Изучим функцию , определенную при . При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента - как линейная функция. Производная имеет вид

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при

( 34)

Получена знаменитая "формула квадратного корня".

В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны . К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

Всегда можно указать неотрицательное целое число такое, что

( 35)

Утверждение 3. Решением задачи оптимизации

является либо , либо .

Действительно, из всех часть лежит правее , из них наименьшим является , а часть лежит левее , из них наибольшим является . Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная функции отрицательна левее и положительна правее , следовательно, функция средних издержек убывает левее и возрастает правее . Значит, минимум по достигается при , а минимум по - при Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

1. Найти по формуле квадратного корня (34).
2. Найти n из условия (35).
3. Рассчитать ) по формуле (33) для и , где и определены в (35).
4. Наименьшее из двух чисел и является искомым минимумом, а то из чисел и , на котором достигается минимум - решением задачи оптимизации. Обозначим его

Оптимальный план поставки - это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны .

Замечание. Если , то решение задачи оптимизации состоит из двух точек и . В этом частном случае существует два оптимальных плана.

Пример 1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т продукции в день - 50 руб. Плата на доставку одной партии - 980 руб. Горизонт планирования - 10 дней. Найти оптимальный план поставок.

В рассматриваемом случае =5 (т/день), =50 (руб./т.день), =980 (руб./партия), = 10 (дней). По формуле (34) рассчитываем

Множество допустимых значений для имеет вид

Следовательно, и . Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе - с тремя. Поскольку

то

и

Поскольку , то . Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами.

Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с . Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом?

Для плана с интервал между поставками составляет дня. Следовательно, партии придут в моменты . Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования , в момент . Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту пройдет дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено т продукции и останется т. План с не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования .

Подсчитаем общие издержки в плане с . Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна трех треугольников - 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени и , т.е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна , а потому площадь трапеции есть Следовательно, площадь под графиком равна , а плата за хранение составляет руб.

За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты ), следовательно, затраты на доставку равны руб. Общие издержки за 10 дней составляют руб., а средние издержки - 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в раза, т.е. на 8,7%.

Отметим, что

т.е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т.e. на 0,64%. При этом оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от т на 1,5 т, т.е. - различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции . Это объясняется тем, что в точке функция достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0.

Оба слагаемых в равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой.

Средние издержки в плане с равны . Интервал между поставками при этом равен

Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:

при этом половина (т.е. ) приходится на оплату доставки партии, а половина - на хранение товара.