Рекурсивные методы

Рекурсивным называют метод, если он вызывает сам себя в качестве вспомогательного. В основе рекурсивного метода лежит так называемое "рекурсивное определение" какого-либо понятия. Классическим примером рекурсивного метода является метод, вычисляющий факториал.

Из курса математики известно, что 0!=1!=1, n!=1*2*3…*n. С другой стороны n!=(n-1)!*n. Таким образом, известны два частных случая параметра n, а именно n= 0 и n=1, при которых мы без каких-либо дополнительных вычислений можем определить значение факториала. Во всех остальных случаях, то есть для n>1, значение факториала может быть вычислено через значение факториала для параметра n-1. Таким образом, рекурсивный метод будет иметь вид:

{
   static long F(int n)  //рекурсивный метод
   {
      if (n==0 || n==1) 
       return 1;    //нерекурсивная ветвь
       else return n*F(n-1);  //шаг рекурсии - повторный вызов метода с другим параметром
    }

    static void Main()
    {
      Console.Write("n=");
       int n =int.Parse( Console.ReadLine());
       long f=F(n); //нерекурсивный вызов метода F
       Console.WriteLine("{0}!={1}",n, f); 
      }
}

Рассмотрим работу описанного выше рекурсивного метода для n=3.

Первый вызов метода осуществляется из метода Main, в нашем случае командой f=F(3). Этап вхождения в рекурсию обозначим жирными стрелками. Он продолжается до тех пор, пока значение переменной n не становится равной 1. После этого начинается выход из рекурсии (тонкие стрелки). В результате вычислений получается, что F(3)=3*2*1.

Рассмотренный вид рекурсии называют прямой. Метод с прямой рекурсией обычно содержит следующую структуру:

if (<условие>)  
<оператор>; 
else <вызов данного метода с другими параметрами>;

В качестве <условия> обычно записываются некоторые граничные случаи параметров, передаваемых рекурсивному методу, при которых результат его работы заранее известен, поэтому далее следует простой оператор или блок, а в ветви else происходит рекурсивный вызов данного метода с другими параметрами.

Что необходимо знать для реализации рекурсивного процесса? Со входом в рекурсию осуществляется вызов метода, а для выхода необходимо помнить точку возврата, т.е. то место программы откуда мы пришли и куда нам нужно будет возвратиться после завершения метода. Место хранения точек возврата называется стеком вызовов и для него выделяется определенная область оперативной памяти. В этом стеке запоминаются не только адреса точек возврата, но и копии значений всех параметров. По этим копиям восстанавливается при возврате вызывающий метод. При развертывании рекурсии за счет создания копий параметров возможно переполнение стека. Это является основным недостатком рекурсивного метода. С другой стороны, рекурсивные методы позволяют перейти к более компактной записи алгоритма.

Следует понимать, что любой рекурсивный метод можно преобразовать в обычный метод. И практически любой метод можно преобразовать в рекурсивный, если выявить рекуррентное соотношение между вычисляемыми в методе значениями.

Далее для сравнения каждую задачу будем решать с использованием обычного и рекурсивного методов:

Пример 1:Найти сумму цифр числа А.

Известно, что любое натуральное число A=a_n a_n-1... a₁ a₀, где a_n a_n-1... a₁ a₀ - цифры числа, можно представить следующим образом:

A=a_n a_n-1... a₁ a₀ = A=a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 + ... a₁*10¹ + a₀*10⁰ = ((...((a_n*10 + a_n-1)*10+ a_n-2)*10...)*10 + a₁)*10 + a₀

Например, число 1234 можно представить как:

1234 = 1*10³ + 2*10² + 3*10¹ + 4*10⁰ = ((1*10 + 2)*10 + 3)*10 + 4

Из данного представления видно, что получить последнюю цифру можно, если найти остаток от деления числа на 10. В связи с этим для разложения числа на составляющие его цифры можно использовать следующий алгоритм:

1. Находим остаток при делении числа А на 10, т.е. получаем крайнюю правую цифру числа.
2. Находим целую часть числа при делении A на 10, т.е. отбрасываем от числа A крайнюю правую цифру.
3. Если преобразованное A > 0, то переходим на пункт 1. Иначе число равно нулю и отделять от него больше нечего.

Данный алгоритм будет использоваться при разработке нерекурсивного метода.

С другой стороны, сумму цифр числа 1234 можно представить следующим образом sum(1234)=sum(123)+4=(sum(12)+3)+4=(((sum(1)+2)+3)+4)=(((sum(0)+1)+2)+3)+4. Таким образом, если А=0, то сумма цифр числа также равна нулю, т.е. sum=0. В противном случае сумму цифр числа A можно представить рекуррентным соотношением sum(A)=sum(A/10)+A%10. Полученное рекуррентное соотношение будем использовать при разработке рекурсивного метода.

class Program
  {
    static long Sum(long a) //нерекурсивный метод
    {
      long sum=0;
      while (a>0) //пока a больше нуля
      {
        sum+=a%10;  //добавляем к сумме последнюю цифру числа а
        a/=10;   //отбрасываем от числа а последнюю цифру
      }
      return sum;  //возвращаем в качестве результата сумму цифр числа a
    }

    static long SumR(long a) //рекурсивный метод
    {
      if (a==0) //если a =0, то
                 return 0; // возвращаем 0
      else return SumR(a/10)+ a%10; //иначе обращаемся к рекуррентному соотношению
    }

    static void Main()
    {
      Console.Write("n=");
      long n=long.Parse(Console.ReadLine());
      Console.WriteLine("Нерекурсивный метод: "+Sum(n));
      Console.WriteLine("Рекурсивный метод: "+SumR(n));
    }  
  }
}

Пример 2:вычислить n-ный член последовательности Фиббоначи.

Первые два члена последовательности Фиббоначи равны 1, остальные получаются по рекуррентной формуле a_n=a_n-1+a_n-2.

class Program
  {
    static int Fb(int n) //нерекурсивный алгоритм
    {
      int a, a1=1, a2=1;
      if (n==1||n==2) return 1;
      else 
      {
        for (int i=2; i<=n; ++i) 
        {
          a=a1+a2;
          a1=a2;
          a2=a;
        }
        return a1;
      }
    }

    static int FbR(int n) //рекурсивный алгоритм
    {
      if (n==1 || n==2 )return 1;
        else return FbR(n-1)+FbR(n-2);
    }

    static void Main()
    {
      Console.Write("n=");
      int n=int.Parse(Console.ReadLine());
      Console.WriteLine("Нерекурсивный метод: "+Fb(n));
      Console.WriteLine("Рекурсивный метод: "+FbR(n));
    }    
  }

Рассмотренные выше рекурсивные методы возвращали некоторое значение, заданное рекуррентным соотношением. Однако, как мы знаем, не все методы возвращают значение. Кроме того, рассмотренные выше методы определяют простой вариант рекурсивного метода. В общем случае рекурсивный метод включает в себя некоторое множество операторов и один или несколько операторов рекурсивного вызова. Действия могут выполняться после рекурсивного вызова, до рекурсивного вызова, а также и до, и после рекурсивного вызова. Рассмотрим примеры "сложных" рекурсивных методов, не возвращающих значение.