Методы: основные понятия

Самостоятельная работа

Теоретический материал

Пусть a₁, a₂, ..., a_n - произвольная числовая последовательность. Рекуррентным соотношением называется такое соотношение между членами последовательности, в котором каждый следующий член выражается через несколько предыдущих, т.е a_k = f(a_k-1, a_k-2, ..., a_k-l, l < k (1).

Последовательность задана рекуррентно, если для нее определено рекуррентное соотношение вида (1) и заданы первые l ее членов.

Самым простым примером рекуррентной последовательности является арифметическая прогрессия. Рекуррентное соотношение для нее записывается в виде: a_k = a_k-1 + d, где d - разность прогрессии. Зная первый элемент и разность прогрессии, и, используя данное рекуррентное соотношение, можно последовательно вычислить все остальные члены прогрессии.

Рассмотрим пример программы, в которой вычисляются первые n членов арифметической прогрессии при условии, что a₁=1/2 и d=1/4.

static void Main()
 {
   Console.Write("a=");
   double a = double.Parse(Console.ReadLine());
   Console.Write("h=");
   double d = double.Parse(Console.ReadLine());
   Console.Write("n=");
   int d = int.Parse(Console.ReadLine());
   Console.WriteLine("a1="+ a);	//вывели первый член последовательности
   //организуем вычисление 2, 3, … ,n члена последовательности
   for (int i = 2; i <= n; ++i)
  {
    a += d;		//для этого прибавляем к предыдущему члену значение d
    Console.WriteLine("a{0}={1}", i, a);	//и выводим новое значение а на экран
  }
}

Результат работы программы:

n	состояние экрана
5	a1: 0.5
a2: 0.75 
a3: 1.
a4: 1.25
a5: 1.5

Более сложная зависимость представлена в последовательности Фибоначчи: a₁ = a₂= 1, a_n = a_n-1 + a_n-2. В этом случае каждый член последовательности зависит от значений двух предыдущих членов. Рассмотрим пример программы, в которой вычисляются первые n членов последовательности Фибоначчи.

static void Main()
{
 int a1=1, a2=1, a3;	//задали известные члены последовательности
 Console.Write("n=");
 int n = int.Parse(Console.ReadLine());
 //вывели известные члены  последовательности
 Console.WriteLine("a1={0}\na2={1}",a1,a2);	
 
 /*Организуем цикл для вычисления членов последовательности с номерами 3, 4,…, n. 
 При этом в переменной a1 будет храниться значение члена последовательности с номером i-2, 
 в переменной a2 -  члена с номером i-1, 
 переменная а будет использоваться для вычисления члена с номером i. */

 for (int i = 3; i <= n; ++i)
 {
  a3=a1+a2;	//по рекуррентному соотношению вычисляем член последовательности
  Console.WriteLine("a{0}={1}", i, a3); //с номером i и выводим его значение на экран
  //выполняем рекуррентный пересчет для следующего шага цикла                
  a1 = a2;	//в элемент с номером i-2 записываем значение элемента с номером i-1
  a2 = a3;	 //в элемент с номером i-1 записываем значение элемента с номером i
 }
}

Результат работы программы:

n	состояние экрана
5	a1: 1
  	a2: 1 
 	a3: 2
 	a4: 3
 	a5: 5

Практическое задание

1. Написать программу, вычисляющую первые n элементов заданной последовательности:
   1. b₁ =9 , b_n=0.1b_n-1+10
   2. b₁ =5 , b_n=b_n-1/(n²+n+1)
   3. b₁ =-1, b₂ =1, b_n =3 b_n-1 - 2 b_n-2
   4. b₁ =1, b₂ =2, b_n=(nb_n-2 - b_n-1)/(n+1)
2. Вычислить и вывести на экран значение n члена последовательности для каждого c шагом h=0.1 Результат работы программы представить в виде следующей таблицы:

1. b₁ =x , b_n=x+2b_n-1
2. b₁ =x , b_n=sin(b_n-1)+p
3. b₁ =0 , b_2n=b_2n-1+x, b_2n+1=2b_2n
4. b₁ =x , b₂=2x, b_n=b_n-2/4+5/( b_n-1)²