НОУ ИНТУИТ | Введение в Octave. Лекция 4: Построение графиков

Компания ALT Linux

Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 585 / 65 | Длительность: 20:55:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

4.2 Построение трёхмерных графиков

График поверхности (трёхмерный или 3D-график) — это график, положение точки в котором определяется значениями трёх координат.

4.2.1 Построение графиков поверхностей

Дадим определение прямоугольной (или декартовой) системы координат в пространстве.

Рис. 4.16. Пример использования функции bar(x, y)

Прямоугольная система координат в пространстве состоит из заданной фиксированной точки пространства, называемой началом координат, и трёх перпендикулярных прямых пространства OX, OY и , не лежащих в одной плоскости и пересекающихся в начале координат, — их называют координатными осями ( — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат). Положение точки в пространственной системе координат определяется значением трёх координат и обозначается M (x, y, z) . Три плоскости, содержащие пары координатных осей, называются координатными плоскостями XY, XZ и .

Величина называется функцией двух величин и , если каждой паре чисел, которые могут быть значениями переменных и , соответствует одно или несколько определённых значений величины . При этом переменные и называют аргументами функции z(x, y) . Пары тех чисел, которые могут быть значениями аргументов , функции z(x, y) , в совокупности составляют область определения этой функции.

Для построения графика двух переменных z = f (x, y) необходимо выполнить следующие действия.

Сформировать в области построения графика прямоугольную сетку, проводя прямые, параллельные осям $y=y_{j}$ и $x=x_{i}$, где $ x_{i}=x_{0}+ih, h=\frac{x_{n}-x_{0}}{n} $, $ i=0,1,2,\ldots,n $, $ y_{j}=y_{0}+j\delta, \delta=\frac{y_{k}-y{0}}{k} $, $ j=0,1,2,\ldots, k$ .
Вычислить значения $z_{i,j}=f(x_{i},y_{j})$ во всех узлах сетки.
Обратиться к функции построения поверхности, передавая ей в качестве параметров сетку и матрицу $Z=\{z_{i,j}\}$ значений в узлах сетки.

Для формирования прямоугольной сетки в Octave есть функция meshgrid . Рассмотрим построение трёхмерного графика на следующем примере.

Пример 4.14. Построить график функции $z(x,y)=3x^{2}-2sin^{2}y, x \in [-2,2], y \in [-3,3]$ .

Для формирования сетки воспользуемся функцией meshgrid .

	
>>>[x y]=meshgrid(-2:2,-3:3)
x =
-2 	-1 	0 		1	 	2
-2 	-1 	0 		1 		2
-2 	-1 	0 		1 		2
-2 	-1 	0 		1 		2
-2 	-1 	0 		1 		2
-2 	-1 	0 		1 		2
-2 	-1 	0 		1 		2
y =
-3 	-3 	-3 	-3 	-3
-2 	-2 	-2 	-2 	-2
-1 	-1 	-1 	-1 	-1
0 		0 		0 		0       0
1 		1 		1 		1 		1
2 		2		2 	    2 		2
3 		3 		3 		3 		3

После формирования сетки вычислим значение функции во всех узловых точках

	
>>> z=3*x.*x-2*sin(y).^2
z =
	11.96017 2.96017 -0.03983 2.96017 11.96017
	10.34636 1.34636 -1.65364 1.34636 10.34636
	10.58385 1.58385 -1.41615 1.58385 10.58385
	12.00000 3.00000 0.00000 3.00000 12.00000
	10.58385 1.58385 -1.41615 1.58385 10.58385
	10.34636 1.34636 -1.65364 1.34636 10.34636
	11.96017 2.96017 -0.03983 2.96017 11.96017

Листинг .

На рис. 4.17. изображен график функции: $z(x, y) = 3x^2-2sin^{2y}$

Рис. 4.17. График функции

Для построения каркасного графика следует обратиться к функции mesh: mesh(x, y, z) ;

После это будет создано графическое окно с трёхмерным графиком (см. рис. 4.17). Как видно, полученный график получился грубым, для получения менее грубого графика следует сетку сделать более плотной (см. листинг 4.14 и рис. 4.18).

	
[x y]= meshgrid(- 2:0.1:2, -3:0.1:3);
z=3*x.*x-2*sin(y).^2
mesh(x, y, z);

Листинг 4.14. Построение графика поверхности (пример 4.14).

Любой трёхмерный график можно вращать, используя мышку.

Для построения поверхностей, кроме функции mesh построения каркасного графика, есть функция surf , которая строит каркасную поверхность, заливая её каждую клетку цветом, который зависит от значения функции в узлах сетки.

Пример 4.15. С использованием функции surf построить график функции $z(x,y)=\sqrt{sin^{2}x+\cos^{2}y}$ .

В листинге 4.15 представлено решение задачи, а на рис. 4.19 изображён получившийся график.

На рис. 4.18. изображен график функции: $z(x, y) = 3x^2-2sin^{2}y$

Рис. 4.18. График функции с плотной сеткой

	
[x y]= meshgrid(-2:0.2:2, 0:0.2:4);
z=sqrt(sin(x).^2+cos(y).^2);
surf(x, y, z);

Листинг 4.15. Построение графика поверхности (пример 4.15).

В Octave можно построить графики двух поверхностей в одной системе координат, для этого, как и для плоских графиков, следует использовать команду hold on , которая блокирует создание второго нового окна при выполнении команд surf или mesh .

Пример 4.16. Построить в одной системе координат графики функций $z(x,y)=\pm(2x^{2}+3y^{4})-1$ .

Решение задачи с использованием функции surf представлено в листинге 4.16, полученный график изображён на рис. 4.20.

	
h=figure( );
[x y]= meshgrid(-2:0.1:2, -3:0.1:3);
z=2*x.^2+3*y.^4-1;
z1=-2*x.^2-3*y.^4-1;
surf(x, y, z);
hold on
surf(x, y, z1);

Листинг 4.16. Построение двух графиков одновременно (пример 4.16).

На рис. 4.19. изображен график функции: $z(x, y) =\sqrt{sin^2x + cos^2y}$

Рис. 4.19. График функции

Рис. 4.20. Изображение двух поверхностей в одной системе координат с использованием функции surf

Рис. 4.21. Изображение двух поверхностей в одной системе координат с использованием функции mesh

Построение поверхности с помощью функции mesh можно осуществить аналогично (см. листинг 4.17), графики функций — можно увидеть на рис. 4.21.

	
h=figure( );
[x y]= meshgrid(-2:0.1:2, -3:0.1:3);
z=2*x.^2+3*y.^4-1;
z1=-2*x.^2-3*y.^4-1;
mesh(x, y, z);
hold on
mesh(x, y, z1);

Листинг 4.17. Построение графиков с помощью mesh (пример 4.16).

4.2.2 Построение графиков поверхностей, заданных параметрически

При построении графиков поверхностей, заданных параметрически x(u, v), y(u, v) и z(u, v) необходимо построить матрицы X, Y и одинакового размера. Для этого массивы и должны быть одинакового размера. Можно выделить два основных вида представления x, y и в случае параметрического задания поверхностей:

Если и представимы в виде , то соответствующие им матрицы и следует формировать в виде матричного умножения на .
Если и представимы в виде или , то в этом случае матрицы и следует записывать в виде или соответственно.

Рассмотрим несколько задач построения графиков поверхностей заданных параметрически.

Пример 4.17. Построить поверхность однополостного гиперболоида, уравнение которого задано в параметрическом виде $x(u, v) = ch(u)cos(v), y (u, v) = ch(u)sin(v), z (u, v) = sh(u), u \in [0, \pi ], v \in [0, 2\pi]$ .

В листинге 4.18 представлено решение этой задачи, согласно описанному выше алгоритму. График однополостного гиперболоида представлен на рис. 4.22.

	
clear all;
h =3.14/50;
u = [0:h:3.14]’; % Формируем вектор-столбец u.
% Формируем вектор-строку v. Обратите внимание, u — столбец,
% v — строка с одинаковым количеством элементов.
v =[0:2*h:6.28];
% Формируем матрицу X как матричное произведение ch(u) cos(v).
X=cosh(u)*cos(v);
% Формируем матрицу Y как матричное произведение ch(u)*sin(v).
Y=cosh(u)*sin(v);
% Формируем матрицу Z как матричное произведение столбца sh(u)
% на строку ones(size(v)).
Z=sinh(u)*ones(size(v));
% Формируем график поверхности.
surf(X, Y, Z); grid on;
% Подписываем график и оси.
title(’Plank hyperboloid’); xlabel(’X’); ylabel(’Y’); zlabel(’Z’)

Листинг 4.18. Построение поверхности гиперболоида (пример 4.17).

увеличить изображение
Рис. 4.22. График однополостного гиперболоида

Рассмотрим несколько способов построения сферы в Octave.

Пример 4.18. Построить поверхность сферы с центром $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ и радиусом .

В декартовой системе координат уравнение сферы имеет вид: $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}$ . Его можно записать в параметрическом виде

$\begin{cases}x(u,v)=x_{0} + R \sin(u)\cos(v), \\y(u,v)=y_{0}+R\sin(u)\sin(v), \\z(u,v)=z_{0} + R\cos(u), \\\end{cases}$

где $u\in[0,2\pi), v\in[0,\pi]$ .

Методика построения сферы подобна методике построения однополостного гиперболоида, описанной в примере 4.17. В листинге 4.19 представлен текст программы построения сферы с центром в точке (1, 1, 1) и радиусом R = 4 , а на рис. 4.23 изображена сфера.

	
clear all; h=pi/30;
u=[-0:h:pi]’; % Формируем вектор-столбец u.
v =[0:2*h:2*pi ]; % Формируем вектор-строку v.			
% Формируем матрицу X, используя матричное произведение sin(u)*cos(v).
x=1+4*sin(u)*cos(v);
% Формируем матрицу Y, используя произведение sin(u)*sin(v).
y=1+4*sin(u)*sin(v);
% Формируем матрицу Z, используя произведение столбца
% cos(u) на строку ones(size(v)).
z=1+4*cos(u)*ones(size(v));
% Формируем график поверхности.
surf(x, y, z); grid on;
% Подписываем график и оси.
title(’SPHERE’); xlabel(’X’); ylabel(’Y’); zlabel(’Z’);

Листинг 4.19. Построение сферы (пример 4.18).

Рис. 4.23. График сферы, построенный с использованием функции surf

Octave содержит встроенную функцию [X, Y, Z] = sphere(n) , позволяющую формировать матрицы (X, Y, Z) размерности n + 1 для построения сферы единичного радиуса (см. пример 4.18) с центром в начале координат.

Для построения сферы единичного радиуса с центром в начале координат достаточно двух команд [X,Y,Z]=sphere(n); surf(X,Y,Z) . Чем n больше, тем более "округлой" будет сфера. На рис. 4.24 изображена сфера единичного радиуса в центре в начале координат при n = 25.

Рис. 4.24. График сферы единичного радиуса, построенный с использованием функции sphere(25)

Встроенную функцию можно использовать и для построения сферы с центром (x_0, y_0, z_0) и радиусом . В листинге 4.20 приведено решение примера 4.18 с помощью функции sphere(n).

	
clear all; x0 =2; y0=_2;z0 =5;R=10 % Определяем центр и радиус сферы.
% Формируем матрицы X, Y, Z для построения сферы единичного радиуса
% с центром в начале координат, используя функцию sphere(n).
[X, Y, Z]= sphere(25);
% Пересчитываем матрицы X,Y,Z для сферы с центром x0, y0, z0 и радиусом R.
X=x0+R*X;Y=y0+R*Y; Z=z0+R*Z;
surf(X, Y, Z) % Изображаем сферу

Листинг 4.20. Построение сферы с помощью sphere (пример 4.18).

В результате работы программы будет построена сфера, представленная на рис. 4.25.

Сфера является частным случаем более общей фигуры — эллипсоида. Рассмотрим два способа построения эллипсоида.

увеличить изображение
Рис. 4.25. Сфера, построенная с помощью программы, представленной в листинге 4.20

Пример 4.19. Построить поверхность эллипсоида, уравнение которой задано в параметрическом виде:

$\left\{\begin{aligned}x(u,v)=&x_0+a\sin(u)\cos(v),\\y(u,v)=&y_0+b\sin(u)\sin(v),\\z(u,v)=&z_0+c\cos(u).\end{aligned}\right.$

Здесь a, b, c — полуоси эллипсоида, (x_0, y_0, z_0) — центр эллипсоида.

Методика построения эллипсоида подобна тому, как ранее были построены однополостный гиперболоид (пример 4.17) и сфера (пример 4.18). Для этого необходимо сформировать матрицы X, Y и , после чего вызвать функцию surf . Как это сделать показано в листинге 4.21.

	
clear all; h=pi/30;
u=[-0:h:pi]’; % Формируем вектор-столбец u.
v =[0:2*h:2*pi]; % Формируем вектор-строку v.
% Формируем матрицу X, используя матричное произведение sin(u)*cos(v).
a =3;b=7; c =1; x0=y0=z0 =10;x=x0+a*sin(u)*cos(v);
% Формируем матрицу Y, используя произведение sin(u)*sin(v).
y=y0+b*sin(u)*sin(v);
% Формируем матрицу Z, используя произведение столбца
% cos(u) на строку ones(size(v)).
z=z0+c*cos(u)*ones(size(v));
surf(x, y, z); grid on; % Формируем эллипсоид.
% Подписываем график и оси.
title(’ELLIPSOID’); xlabel(’X’); ylabel(’Y’); zlabel(’Z’);

Листинг 4.21. Построение поверхности эллипсоида (пример 4.19).

Эллипсоид с центром в точке (10, 10, 10) и полуосями a = 3, b = 7, c = 1 представлен на рис. 4.26.

Однако, для построения эллипсоида в Octave существует функция [X, Y, Z] = ellipsoid(xc, yc, zc, xr, yr, zr, n) , которая позволяет автоматически сформировать матрицы X, Y, Z .

В функции ellipsoid :

— — формируемые для построения поверхности матрицы размерности n + 1;
— — координаты центра эллипсоида;
— — полуоси эллипсоида.

Для построения эллипсоида, представленного на рис. 4.23 достаточно ввести команды

	
a =3;b=7; c =1; x0=y0=z0 =10;
[X, Y, Z]= ellipsoid(x0, y0, z0, a, b, c, 30);
surf(x, y, z); grid on;
title(’ELLIPSOID’); xlabel(’X’); ylabel(’Y’); zlabel(’Z’);

Для построения цилиндров и круговых конусов можно использовать функцию cylinder для формирования матриц X, Y, Z . Затем строим саму поверхность (цилиндр, конус) с помощью функции surf .

Познакомимся с функцией cylinder подробнее. Обращение к функции имеет вид. [X, Y, Z] = cylinder(r, n) ;

Здесь — массив радиусов; если мы строим цилиндр, — массив, состоящий из двух одинаковых значений, функция требует как минимум два значения, и для построения цилиндра это будут радиус верхнего и нижнего основания; при построении конуса r является массивом радиусов горизонтальных сечений кругового конуса;

X, Y, Z — формируемые для построения поверхности (конуса, цилиндра) матрицы размерности n + 1 .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.20. Построить цилиндр радиуса R = 4 и высотой h = 1 .

Текст программы приведён в листинге 4.22, график — на рисунке 4.27.

увеличить изображение
Рис. 4.26. Эллипсоид с центром в точке (10, 10, 10) и полуосями a = 3,b = 7, c = 1

	
clear all;
[x, y, z] = cylinder([4, 4], 25); % Формирование матриц x, y, z.
grid on; surf(x, y, z); % Построение цилиндра.
title("Cylinder")

Листинг 4.22. Построение цилиндра высотой 1 (пример 4.20).

Пример 4.21. Построить цилиндр радиуса 4 и высотой 20.

Текст программы приведён в листинге 4.23, график — на рисунке 4.28.

	
clear all;
[x, y, z] = cylinder([4, 4], 25); % Формирование матриц x, y, z.
grid on;
surf(x, y, 20*z ); % Построение цилиндра с учётом высоты h = 20.
title("Cylinder")

Листинг 4.23. Построение цилиндра высотой 20 (пример 4.21).

Пример 4.22. Примеры круговых конусов.

Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 4.27. Цилиндр радиуса R = 4 и высотой h = 1

Рис. 4.28. Цилиндр радиуса R = 4 и высотой h = 20

увеличить изображение
Рис. 4.29. Усечённый круговой конус к листингу 4.24

Усечённый круговой конус, представленный на рис. 4.29, генерируется программой из листинга 4.24.

	
clear all; [x, y, z] = cylinder(2:1:10, 25);
grid on; surf(x, y, z);
title("Cone"); xlabel(’X’); ylabel(’Y’); zlabel(’Z’);

Листинг 4.24. Построение усечённого кругового конуса (пример 4.22).

Круговой конус, представленный на рис. 4.30, генерируется программой в листинге 4.25.

	
clear all[x, y, z] = cylinder([5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5], 25);
grid on; mesh(x, y, z);
title("Cone") xlabel(’X’); ylabel(’Y’); zlabel(’Z’);

Листинг 4.25. Построение кругового конуса (пример 4.22).

В завершении приведён листинг 4.26, который генерирует поверхность, представленную на рис. 4.31.

увеличить изображение
Рис. 4.30. Круговой конус к листингу 4.25

	
clear all[x, y, z] = cylinder([1, 3, 5, 7, 6, 4], 25);
surf(x, y, z);
title("Surface"); xlabel(’X’); ylabel(’Y’); zlabel(’Z’);

Листинг 4.26. Поверхность (см. рис. 4.30)

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в Octave

Построение графиков

4.2 Построение трёхмерных графиков

4.2.1 Построение графиков поверхностей

4.2.2 Построение графиков поверхностей, заданных параметрически

Вопросы и ответы