НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 2: Основы Maxima

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 556 / 141 | Длительность: 19:00:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

2.7.2 Массивы

Массивы в Maxima — совокупности однотипных объектов с индексами. Число индексов не должно превышать пяти. В Maxima существуют и функции с индексами (функции массива).

Возможно создание и использование переменных с индексами до объявления соответствующего массива. Такие переменные рассматриваются как элементы массивов с неопределёнными размерностями (так называемые хэш-массивы). Размеры неопределённых массивов растут динамически по мере присваивания значений элементам. Интересно, что индексы массивов с неопределёнными границами не обязательно должны быть числами. Для повышения эффективности вычислений рекомендуется преобразовывать массивы с неопределёнными границами в обычные массивы (для этого используется функция array ).

Создание массива производится функцией array. Синтаксис обращения к функции: array(name,dim_1,... ,dim_n) — создание массива с именем name и размерностями ; array(name,type,dim_1,... ,dim_n) — создание массива с именем name и элементами типа type ; array([name_1,... ,name_m],dim_1,... ,dim_n) — создание нескольких массивов одинаковой размерноcти.

Индексы обычного массива — целые числа, изменяющиеся от 0 до dim_i .

Пример:

(%i1)	array(a,1,1);

$a\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	a[0,0]:0; a[0,1]:1; a[1,0]:2; a[1,1]:3;

$0123\leqno{(\%o5) }$

(%i6)	listarray(a);

$[0,1,2,3]\leqno{(\%o6) }$

Функция listarray , использованная в примере, преобразует массив в список. Синтаксис вызова: listarray(A) .

Аргумент может быть определённым или неопределённым массивом, функцией массива или функцией с индексами. Порядок включения элементов массива в список — по строкам.

Функция arrayinfo выводит информацию о массиве . Синтаксис вызова: arrayinfo(A) Аргумент , как и в случае listarray , может быть определённым или неопределённым массивом, функцией массива или функцией с индексами.

Пример использования:

(%i1)	array (aa, 2, 3);

$aa\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	aa [2, 3] : %pi;

$\pi \leqno{(\%o2) }$

(%i3)	aa [1, 2] : %e;

$e\leqno{(\%o3) }$

(%i4)	arrayinfo (aa);

$[declared,2,[2,3]]\leqno{(\%o4) }$

(%i5)	bb [FOO] : (a + b)^2;

${\left( b+a\right) }^{2}\leqno{(\%o5) }$

(%i6)	bb [BAR] : (c - d)^3;

${\left( c-d\right) }^{3}\leqno{(\%o6) }$

(%i7)	arrayinfo (bb);

$[hashed,1,[BAR],[FOO]]\leqno{(\%o7) }$

(%i8)	listarray (bb);

$[{\left( c-d\right) }^{3},{\left( b+a\right) }^{2}]\leqno{(\%o8) }$

Функции listarray и arrayinfo применимы и к функциям массива:

(%i9)	cc [x, y] := y / x;

${cc}_{x,y}:=\frac{y}{x}\leqno{(\%o9) }$

(%i10)	cc[1,2];

$2\leqno{(\%o10) }$

(%i11)	cc[2,1];

$\frac{1}{2}\leqno{(\%o11) }$

(%i12)	arrayinfo(cc);

$[hashed,2,[1,2],[2,1]]\leqno{(\%o12) }$

(%i13)	listarray(cc);

$[2,\frac{1}{2}]\leqno{(\%o13) }$

Ещё один пример — создание и вывод информации о функциях с индексами:

(%i1)	dd [x] (y) := y ^ x;

${dd}_{x}\left( y\right) :={y}^{x}\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	dd[1](4);

$4\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	dd[a+b];

$lambda\left( [y],{y}^{b+a}\right) \leqno{(\%o3) }$

(%i4)	arrayinfo(dd);

$[hashed,1,[1],[b+a]]\leqno{(\%o4) }$

(%i5)	listarray(dd);

$[lambda\left( [y],y\right) ,lambda\left( [y],{y}^{b+a}\right) ]\leqno{(\%o5) }$

Функция make_array(type,dim_1,... ,dim_n) создаёт и возвращает массив Lisp. Тип массива может быть $any,\ flonum,\ fixnum,\ hashed,\ functional$ . Индекс может изменяться в пределах от 0 до dim_i -1 .

Достоинство make_array по сравнению с array — возможность динамически управлять распределением памяти для массивов. Присваивание y : make_array(...) создаёт ссылку на массив. Когда массив больше не нужен, ссылка уничтожается присваиванием y : false , память освобождается затем сборщиком мусора.

Примеры:

(%i1)	A1 : make_array (fixnum, 8);

${Lisp\ Array:\ \#(0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0)}\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	A1[1]:8;

$8\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	A3 : make_array (any, 8);

${Lisp\ Array:\ \#(NIL\ NIL\ NIL\ NIL\ NIL\ NIL\ NIL\ NIL)}\leqno{(\%o3) }$

(%i4)	arrayinfo(A3);

$[declared,1,[7]]\leqno{(\%o4) }$

Переменная arrays содержит список имён массивов первого и второго видов, определённых на данный момент.

Пример:

(%i1)	array(a,1,1);

$a\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	array(b,2,3);

$b\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	arrays;

$[a,b]\leqno{(\%o3) }$

Функция fillarray позволяет заполнять массивы значениями из другого массива или списка. Заполнения производится по строкам.

Примеры:

(%i1)	array(a,1,1);

$a\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	fillarray(a,[1,2,3,4]);

$a\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	a[1,1];

$4\leqno{(\%o3) }$

(%i4)	a2 : make_array (fixnum, 8);

$Lisp\ Array\ \#(0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0)\leqno{(\%o4) }$

(%i5)	fillarray (a2, [1, 2, 3, 4, 5]);

$Lisp\ Array\ \#(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 5\ 5\ 5)\leqno{(\%o5) }$

Как видно из рассмотренных примеров, длина списка может и не совпадать с размерностью массива. Если указан тип массива, он должен заполняться элементами того же типа. Удаление массивов из памяти осуществляется функцией remarray .

Кроме того, для изменения размерности массива имеется функция rarray(A,dim_1,... ,dim_n) . Новый массив заполняется элементами старого по строкам. Если размер старого массива меньше, чем нового, остаток нового заполняется нулями или false (в зависимости от типа массива).

2.7.3 Матрицы и простейшие операции с ними

В Maxima определены прямоугольные матрицы.

Основной способ создания матриц — использования функции matrix. Синтаксис вызова: matrix(row_1,... ,row_n) . Каждая строка — список выражений, все строки одинаковой длины. На множестве матриц определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Эти операции выполняются поэлементно, если операнды — две матрицы, скаляр и матрица или матрица и скаляр. Возведение в степень возможно, если один из операндов — скаляр. Перемножение матриц (в общем случае некоммутативная операция) обозначается символом ". ". Операция умножения матрицы самой на себя может рассматриваться как возведение в степень. Возведение в степень -1 — как обращение (если это возможно).

Пример создания двух матриц:

(%i1)	x: matrix ([17, 3], [-8, 11]);

$\leqno{(\%o1)}\left[\begin{array}{ll} 17 & 3 \\ -8 & 11 \end{array}\right]$

(%i2)	y: matrix ([%pi, %e], [a, b]);

$\leqno{(\%o2)}\left[\begin{array}{ll} \pi & e \\ a & b \end{array}\right]$

Выполнение арифметических операций с матрицами:

(%i3)	x+y;

$\leqno{(\%o3)}\left[\begin{array}{ll} \pi +17 & e+3\\ a-8 & b+11 \end{array}\right]$

(%i4)	x-y;

$\leqno{(\%o4)}\left[\begin{array}{ll} 17 -\pi & 3-e \\ -a-8 & 11-b \end{array}\right]$

(%i5)	x*y;

$\leqno{(\%o5)}\left[\begin{array}{ll} 17 \,\pi & 3 \,e \\ -a\,8 & 11\,b \end{array}\right]$

(%i6)	x/y;

$\leqno{(\%o6)}\left[\begin{array}{ll} \frac{17}{\pi } & 3\,{e}^{-1} \\ -\frac{8}{a} & \frac{11}{b} \end{array}\right]$

Обратите внимание — операции выполняются поэлементно. При попытке выполнять арифметические операции, как представлено выше, над матрицами различных размеров, выдаётся ошибка.

Пример операций с матрицами и скалярами:

(%i9)	x^3;

$\leqno{(\%o9)}\left[\begin{array}{ll} 4913 & 27 \\ -512 & 1331 \end{array}\right]$

(%i10)	3^x;

$\leqno{(\%o10)}\left[\begin{array}{ll} 129140163 & 27 \\ \frac{1}{6561} & 177147 \end{array}\right]$

Умножение матрицы на матрицу:

(%i11)	x.y;

$\leqno{(\%o11)}\left[\begin{array}{ll} 3\,a+17\,\pi & 3\,b+17\,e \\ 11\,a-8\,\pi & 11\,b-8\,e \end{array}\right]$

(%i12)	y.x;

$\leqno{(\%o12)}\left[\begin{array}{ll} 17\,\pi -8\,e & 3\,\pi +11\,e \\ 17\,a-8\,b & 11\,b+3\,a \end{array}\right]$

Очевидно, что для успешного перемножения матрицы должны быть согласованы по размерам. Возведение в степень -1 даёт обратную матрицу:

(%i13)	x^^-1;

$\leqno{(\%o13)}\left[\begin{array}{ll} \frac{11}{211} & -\frac{3}{211} \\ \frac{8}{211} & \frac{17}{211} \end{array}\right]$

(%i14)	x.(x^^-1);

$\leqno{(\%o14)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

Стоит обратить внимание, что операции x^^-1 и x^-1 дают разный результат!

Пример:

(%i2)	x^-1;

$\leqno{(\%o2)}\left[\begin{array}{ll} \frac{1}{17} & \frac{1}{3}\\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{11} \end{array}\right]$

(%i3)	x^^-1;

$\leqno{(\%o3)}\left[\begin{array}{ll} \frac{11}{211} & -\frac{3}{211}\\ \frac{8}{211}& \frac{17}{211} \end{array}\right]$

Функция genmatrix возвращает матрицу заданной размерности, составленную из элементов двухиндексного массива. Синтаксис вызова:

Индексы i_1,j_1 и i_2,j_2 указывают левый и правый нижний элементы матрицы в исходном массиве.

Пример:

(%i1)	h [i, j] := 1 / (i + j - 1);

${h}_{i,j}:=\frac{1}{i+j-1}\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	genmatrix(h,3,3);

$\leqno{(\%o2)}\left[\begin{array}{lll} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \end{array}\right]$

(%i3)	array (a, fixnum, 2, 2);

$a\leqno{(\%o3) }$

(%i4)	a [1, 1] : %e;

$e\leqno{(\%o4) }$

(%i5)	a [2, 2] : %pi;

$\pi \leqno{(\%o5) }$

(%i6)	genmatrix (a, 2, 2);

$\leqno{(\%o6)}\left[\begin{array}{ll} e & 0\\ 0 & \pi \end{array}\right]$

Функция zeromatrix возвращает матрицу заданной размерности, составленную из нулей (синтаксис вызова zeromatrix(m,n) ).

(%i7)	zeromatrix(2,2);

$\leqno{(\%o7)}\left[\begin{array}{ll} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right]$

Функция ident возвращает единичную матрицу заданной размерности (синтаксис ident(n) )

(%i9)	ident(2);

$\leqno{(\%o9)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

Функция copymatrix(M) создаёт копию матрицы . Обратите внимание, что присваивание не создаёт копии матрицы (как и присваивание не создаёт копии списка).

Пример:

(%i1)	a:matrix([1,2],[3,4]);

$\leqno{(\%o1)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$

(%i2)	b:a;

$\leqno{(\%o2)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$

(%i3)	b[2,2]:10;

$10\leqno{(\%o3) }$

(%i4)	a;

$\leqno{(\%o4)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 10 \end{array}\right]$

Присваивание нового значения элементу матрицы изменяет и значение соответствующего элемента матрицы . Использование copymatrix позволяет избежать этого эффекта.

Функции row и col позволят извлечь соответственно строку и столбец заданной матрицы, получая список. Синтаксис вызова:

— возвращает -ю строку;
— возвращает -й столбец.

Функции addrow и addcol добавляют к матрице строку или столбец соответственно. Синтаксис вызова:

Здесь list_1,... ,list_n — добавляемые строки или столбцы.

Пример:

(%i1)	a:matrix([1,2],[3,4]);

$\leqno{(\%o1)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$

(%i2)	b:addrow(a,[10,20]);

$\leqno{(\%o2)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 10 & 20 \end{array}\right]$

(%i3)	addcol(b,[x,y,z]);

$\leqno{(\%o3)}\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & x\\ 3 & 4 & y\\ 10 & 20 & z \end{array}\right]$

Функция submatrix возвращает новую матрицу, состоящую из подматрицы заданной. Синтаксис вызова:

Подматрица строится следующим образом: из матрицы удаляются строки i_1,... ,i_m и j_1,... ,j_n .

Пример (используем последний результат из предыдущего примера, удаляем третью строку и третий столбец):

(%i6)	submatrix(3,%,3);

$\leqno{(\%o6)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$

Для заполнения матрицы значениями некоторой функции используется функция (аналог map, apply, fullmap ). Синтаксис вызова: matrixmap(f,M). Функция matrixmap возвращает матрицу с элементами i,j , равными f(M[i,j]) .

Пример:

(%i1)	a:matrix([1,2],[3,4]);

$\leqno{(\%o1)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$

(%i2)	f(x):=x^2;

$f\left( x\right) :={x}^{2}\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	matrixmap(f,a);

$\leqno{(\%o3)}\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 9 & 16 \end{array}\right]$

Для работы с матрицами существует ещё много функций, но они относятся к решению различных задач линейной алгебры, поэтому обсуждаются ниже, в главе 3.2.

Дальше >>

Авторизоваться

Компьютерная математика с Maxima

Основы Maxima

2.7.2 Массивы

2.7.3 Матрицы и простейшие операции с ними

Вопросы и ответы