НОУ ИНТУИТ | Программирование на языке С++ в среде Qt Creator. Лекция 3: Операторы управления

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 07.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 2257 / 569 | Длительность: 24:14:00

Тема: Программирование

Специальности: Программист, Архитектор программного обеспечения

|

Вам нравится? Нравится 77 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Задача 3.6. Составить программу для решения кубического уравнения ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 .

Кубическое уравнение имеет вид

( 3.1)

После деления на a уравнение 3.1 принимает канонический вид:

( 3.2)

где $r=\frac{b}{a},s=\frac{c}{a},t=\frac{d}{a}$ .

В уравнении 3.2 сделаем замену $x=y-\frac{r}{3}$ и получим приведённое уравнение:

( 3.3)

где $p=\frac{3s-r^2}{3},q=\frac{2r^3}{27}-\frac{rs}{3}+t$ .

Число действительных корней приведённого уравнения (3.3) зависит от знака дискриминанта (табл. 3.1) $D=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2$ .

Таблица 3.1. Количество корней кубического уравнения
Дискриминант	Количество действительных корней	Количество комплексных корней
$D\ge 0$	1	2
	3	-

Корни приведённого уравнения могут быть рассчитаны по формулам Кардано:

$\begin{array}{l} y_1=u+v\\ y_2=\frac{-{u+v}}{2}+\frac{u-v}{2}i\sqrt{3}\\ y_3=\frac{-{u+v}}{2}-\frac{u-v}{2}i\sqrt{3}, \end{array}$

( 3.4)

где $u=\sqrt[{3}]{\frac{-q}{2}+\sqrt{D}},v=\sqrt[{3}]{\frac{-q}{2}-\sqrt{D}}$ .

При отрицательном дискриминанте уравнение (3.1) имеет три действительных корня, но они будут вычисляться через вспомогательные комплексные величины. Чтобы избавиться от этого, можно воспользоваться формулами:

$\begin{array}{l} y_1=2\sqrt[{3}]{\rho}\cos(\frac{\phi}{3}),\\ y_2=2\sqrt[{3}]{\rho}\cos(\frac{\phi}{3}+\frac{2\pi}{3}),\\ y_3=2\sqrt[{3}]{\rho}\cos(\frac{\phi}{3}+\frac{4\pi}{3}), \end{array}$

( 3.5)

где $\rho =\sqrt{\frac{-{p^{3}}}{27}}, \cos(\phi )=\frac{-{q}}{2\rho}$ .

Таким образом, при положительном дискриминанте кубического уравнения (3.3) расчёт корней будем вести по формулам (3.4), а при отрицательном — по формулам (3.5). После расчёта корней приведённого уравнения (3.3) по формулам (3.4) или (3.5), необходимо по формулам

$x_{k}=y_{k}-\frac{r}{3},\ k=1,2,3..,$

перейти к корням заданного кубического уравнения (3.1).

Блок-схема решения кубического уравнения представлена на рис. 3.18.

Описание блок-схемы. В блоке 1 вводятся коэффициенты кубического уравнения, в блоках 2–3 рассчитываются коэффициенты канонического и приведённого уравнений. Блок 4 предназначен для вычисления дискриминанта. В блоке 5 проверяется знак дискриминанта кубического уравнения. Если он отрицателен, то корни вычисляются по формулам 3.5 (блоки 6–7). При положительном значении дискриминанта расчёт идёт по формулам 3.4 (блок 9, 10). Блоки 8 и 11 предназначены для вывода результатов на экран.

Текст программы с комментариями приведён ниже^{3При расчёте величин и в программе предусмотрена проверка значения подкоренного выражения. Если , то , а .Если , то , а . Соответственно, при нулевом значении подкоренного выражения u и v обращаются в ноль}.

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
#define pi 3.14159 //Определение константы
int main ( )
{
	float a, b, c, d,D, r, s, t, p, q, ro, fi, x1, x2, x3, u, v, h, g;
	//Ввод коэффициентов кубического уравнения.
	cout<<" a = "; cin >>a;
	cout<<" b = "; cin >>b;
	cout<<" c = "; cin >>c;
	cout<<" d = "; cin >>d;
	//Расчёт коэффициентов канонического уравнения по формуле 3.2
	r=b/a; s=c /a; t=d/a;
	//Вычисление коэффициентов приведённого уравнения по формуле 3.3
	p=(3*s -r * r ) / 3; q=2* r* r * r /27 - r * s/3+t;
	//Вычисление дискриминанта кубического уравнения
	D=(p /3) * ( p /3) * ( p /3) +(q /2) * ( q /2);
	if (D<0)
	{
		//Формулы 3.5
		ro=sqrt ( ( float )( -p* p* p/27) );
		fi=-q /(2 * ro );
		fi=pi/2 - atan ( fi / sqrt (1 - fi * f i ) );
		x1=2*pow( ro, ( float ) 1/3) * cos ( f i /3)- r /3;
		x2=2*pow( ro, ( float ) 1/3) * cos ( f i /3+2* pi /3)- r /3;
		x3=2*pow( ro, ( float ) 1/3) * cos ( f i /3+4* pi /3)- r /3;
		cout<<" \n x1 = "<<x1<<" \t x2 = "<<x2;
		cout<<" \t x3 = "<<x3<<" \n ";
	}
	else
	{
		//Формулы 3.4
		if ( -q/2+sqrt (D) >0) u=pow(( - q/2+sqrt (D) ),( float ) 1/3);
		else
		if ( -q/2+sqrt (D) <0) u=-pow( fabs( -q/2+sqrt (D) ),( float ) 1/3);
		else u=0;
		if (-q/2 - sqrt (D) >0) v=pow(( -q/2 - sqrt (D) ),( float ) 1/3);
		else
		if ( -q/2 - sqrt (D) <0) v=-pow( fabs( -q/2 - sqrt (D) ),( float ) 1/3);
		else v=0;
		x1=u+v-r /3; //Вычисление действительного корня кубического уравнения.
		h= -(u+v)/2 - r /3; //Вычисление действительной
		g=(u-v) /2 -sqrt (( float ) 3); //и мнимой части комплексных корней
		cout<<" \ n x1 = "<<x1;
		if (x2>=0)
		{
			cout<<x1<<" + "<<x2<<" i \t ";
			cout<<x1<<" -"<<x2<<" i \n ";
		}
		else
		{
			cout<<x1<<" -"<<fabs ( x2 )<<" i \t ";
			cout<<x1<<" + "<<fabs ( x2 )<<" i \n ";
		}
	}
	if (g>=0)
	{
		cout<<" \t x2 = "<<h<<" + "<<g<<" i ";
		cout<<" \t x3 = "<<h<<" -"<<g<<" i \n ";
	}
	else
	{
		cout<<" \t x2 = "<<h<<" -"<<fabs (g)<<" i ";
		cout<<" \t x2 = "<<h<<" + "<<fabs (g)<<" i ";
}
return 0;
}

Рис. 3.17. Алгоритм решения кубического уравнения

Дальше >>

Авторизоваться

Программирование на языке С++ в среде Qt Creator

Операторы управления

Вопросы и ответы