НОУ ИНТУИТ | Математические методы распознавания образов. Лекция 6: Метод потенциальных функций

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 30.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1622 / 254 | Оценка: 4.24 / 3.92 | Длительность: 14:56:00

Тема: Компьютерная графика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 22 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

6.1. Общая рекуррентная процедура

Пусть $\{\varphi_i(x)\}$ – конечная или бесконечная система функций на . Будем искать дискриминантную функцию в виде

$\Phi(x)=\sum_i c_i\varphi_i(x).$

Требования к рассматриваемому ряду:

Для бесконечного ряда требуем поточечную сходимость.

Также желательно, чтобы c_i убывали быстро с ростом . Это необходимо для обеспечения хорошего совпадения "обрезанного" бесконечного ряда с $\Phi(x)$ .

Итак, пусть $\{\varphi_i(x)\}$ – базовая система функций. В качестве потенциальной функции будем рассматривать функцию вида

$K(x,y)=\sum_i \lambda_i^2\varphi_i(x)\varphi_i(y),$

где $\lambda_i$ удовлетворяет условиям: $\sum_i\lambda_i^2<\infty$ и $\lambda_i\neq 0$ . Обозначим $\psi_i(x)=\lambda_i\varphi_i(x)$ . Тогда

$K(x,y)=\sum_i\psi_i(x)\varphi_i(y).$

Предположим, что

$K(x,x)=\sum_i\varphi_i^2(x)\leq M=const,$

Тогда

$K(x,y)=\sum_i\psi_i(x)\varphi_i(y)\leq M.$

Для приближения $\Phi(x)$ предлагается рекуррентная процедура, называемая общей рекуррентной процедурой:

$\Phi_{n+1}=q_n*\Phi_n(x)+r_n*K(x_{n+1},x), \; n=1,2,\ldots$

Пусть

$\{x_{n+1}\}$ – обучающая последовательность прецедентов;
– некоторые числовые последовательности, которые должны задаваться так, чтобы обеспечить сходимость $\Phi_n(x)$ к $\Phi(x)$ при $n\rightarrow\infty$ в том или ином смысле.

Зададим начальное приближение $\Phi_0(x)=0$ . Как уже отмечалось, мы ищем функцию $\Phi(x)$ в виде:

$\Phi(x)=\sum_{i=1}^{\infty}c_i \varphi_i(x).$

Мы сделали достаточно сильное допущение, сказав, что наше решение будем выражать через базовую систему функций. Т.е. мы априорно предполагаем, что $\Phi_n(x)$ разложимо по системе функций $\{\varphi_i(x)\}$ :

$K(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_i^2\varphi_i(x)\varphi_j(x) \text{ и } \Phi_k(x)=\sum_{i=1}^{\infty}c_i^k\varphi_i(x).$

Тогда, учитывая, что $K(x_{n+1},x)=\sum_i\psi_i(x_{n+1})\psi_i(x)$ , получаем:

$\sum_i c_i^{n+1}\varphi_i(x)=q_n\sum_i c_i^n\varphi_i(x)+r_n\sum_i\psi_i(x_{n+1})\psi_i(x).$

Обозначим через

$\overline{c}_i^k=\frac{c_i^k}{\lambda_i},\;i,k=1,2\ldots$

Тогда

$\overline{c}_i^{n+1}\psi_i(x)=q_nc_i^n\psi_i(x)+r_n\psi_i(x_{n+1})\psi_i(x).$

Откуда получаем вторую форму общей рекуррентной процедуры:

$\overline{c}_i^{n+1}=q_nc_i^n+r_n\psi_i(x_{n+1}).$

Для нахождения связи коэффициентов $\{c_i^k\}$ и $\{c_i^{k+1}\}$ воспользуемся второй формой для формулы общей рекуррентной процедуры и соотношением

$\overline{c}_i^k=\frac{c_i^k}{\lambda_i},\; i,k=1,2,\ldots$

Получим соотношение, связывающее коэффициенты $\{c_i^k\}$ и $\{c_i^{k+1}\}$ :

$\frac{c_i^{n+1}}{\lambda_i}=q_n c_i^n+r_n\psi_i(x_{n+1}), \text{ где } \psi_i=\lambda_i\varphi_i(x)$

Для возможности итерационных вычислений необходимо понять, как вычислять параметры q_n и r_n , а также начальное приближение c_i^0 .

Зададим функцию

$\Phi_i(x)= \left\{ \begin{aligned} &K(x,x_i),\text{ при } x_i\in X \\ &-K(x,x_i),\text{ при } x_i\in \overline{X} \end{aligned} \right.$

где

$K(x,x_m)=\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_i^2\varphi_i(x)\varphi_i(x_m)\text{ и }c_i^0=\pm(\lambda_i^2\varphi_i(x_1))$

Тогда процесс перехода от $\Phi_n$ к $\Phi_{n+1}$ суть процесс подсчета коэффициентов. Обычно $q_n=1,\;r_n$ , вычисляется по следующему правилу:

$r_n= \left\{ \begin{aligned} &0,\text{ если }\Phi_n(x_{n+1})>0\text{ и }x_{n+1}\in X \\ &0,\text{ если }\Phi_n(x_{n+1})<0\text{ и }x_{n+1}\in \overline{X} \\ &1,\text{ если }\Phi_n(x_{n+1})<0\text{ и }x_{n+1}\in X \\ &-1,\text{ если }\Phi_n(x_{n+1})>0\text{ и }x_{n+1}\in \overline{X} \end{aligned} \right..$

Возьмем следующее начальное приближение:

$\Phi_1(x)= \left\{ \begin{aligned} K(x,x),\text{ при } x_1\in X \\ -K(x,x),\text{ при } x_1\in\overline{X} \end{aligned} \right.$

Таким образом, при правильном определении $\Phi_{n+1}$ получаем, что $\Phi_{n+1}(x)=\Phi_n(x)$ ; а в случае ошибки

$\Phi_{n+1}(x) \left\{ \begin{aligned} \Phi_n(x)+K(x_{n+1},x)\text{ при } x_{n+1}\in X \\ \Phi_n(x)-K(x_{n+1},x)\text{ при } x_{n+1}\in \overline{X} \end{aligned} \right.$

Данный процесс напоминает обучение в алгоритме персептрона.

Возникают следующие естественные вопросы:

Есть ли поточечная сходимость функции $\Phi_n(x)$ к $\Phi(x)$ ?

Где взять базисные функции $\varphi_i(x)$ в многомерном пространстве?

Попробуем ответить на эти вопросы.

Рассмотрим аналогию данного алгоритма с алгоритмом персептрона. Для функции

$\Phi_n(x)=\sum_{i+1}^{\infty}c_i^k\varphi_i(x)$

произведем замену $\varphi_i(x)=z_i$ и $z=(z_1,z_2,\ldots),\;z\in Z$ – это вектор в бесконечномерном пространстве, тогда

$\Phi(x)=\sum_{i+1}^{\infty}c_i\varphi_i(x)=\sum_{i+1}^{\infty}c_i z_i,$

где

– спрямляющее пространство. Таким образом, если $\Phi(x)>0$ или $\Phi(x)<0$ , то $\sum_{i+1}^{\infty}c_i z_i>0$ или $\sum_{i+1}^{\infty}c_i z_i<0$ соответственно. Пусть $x_k\in X\bigcup\overline{X}$ , тогда $x_k \rightarrow(z_1^k,z_2^k,\ldots)$ и $z_1^k=\varphi_i(x_k)$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Математические методы распознавания образов

Метод потенциальных функций

6.1. Общая рекуррентная процедура

Вопросы и ответы