Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5216 / 1566 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 7:

Метод Монте-Карло

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >

Линейный конгруэнтный метод

Наилучшие из известных сегодня методов имитации случайных чисел представляют собой частные случаи схемы, предложенные в 1948 году Д.Х.Лемером.

Суть метода: Выбираем четыре "магических числа":

x_0 – начальное значение, x_0\ge 0;

a – множитель, a\ge 0;

c – приращение, c\ge 0;

m – модуль, m > x_0, m > a, m > c.

Тогда искомая последовательность случайных чисел получается из соотношения:

x_{i+1}=(ax_i+c) Mod(m), n\ge0, ( 7.1)

т. е. каждое случайное число – это остаток, при делении (axi+c) на m (операция Mod - "определение остатка", термин взят от слова "modulo" – в переводе "остаток").

Последовательность, полученная из соотношения (7.1) называется линейной конгруэнтной последовательностью.

Пример: x0 = a = c = 7, m = 10.

Тогда последовательность имеет вид: 7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0,…

Как видно, при выбранных значениях "магических чисел" последовательность почти сразу "зациклилась", длина периода = 4.

Из этого примера видно, что "магические числа" нельзя выбирать произвольно. Проведено много исследований и доказано теорем по вопросу "как правильно выбирать" "магические числа".

Метод получения случайных чисел при c=0 называется "мультипликативный конгруэнтный метод", при c\neq0 - "смешанный конгруэнтный метод". При c=0, выработка последовательностей происходит быстрее, но при этом уменьшается длина периода последовательностей.

Первоначально в методе Лемера было принято c=0. Идея получения более длинных последовательностей за счет c\neq0 принадлежит Томпсону и независимо Ротенбергу.

Выбор модуля m. Для получения длинных последовательностей и для увеличения скорости вычисления рекомендуется m выбирать равным размеру машинного слова. Для 32х разрядного машинного слова m = 231=2147483648, (левый нулевой бит слова отведен под знак числа).

При этом в 32х разрядном машинном слове, максимальное целое число, размещающее в машинном слове, равно \omega=2^{31}-1=2147483647\dots

Тогда m=\omega+1

Значение множителя также влияет на длину периода последовательностей. По этому вопросу также проведено много исследований.

Линейные конгруэнтные последовательности – не единственный из предложенных источников случайных чисел. Его можно обобщить, превратив его, например, в квадратичный конгруэнтный метод

x_{i+1}=(dx_1^2+a \cdot X_n+c) Mod(m).

Известен квадратичный метод, предложенный Р. Ковэю:

x_{i+1}=x_i(x_i+1) Mod(2^e).

Известен метод получения случайных чисел, где реализуется последовательность Фибоначчи:

x_{i+1}=(x_i+x_{i-1}) Mod(m).

Известен также метод получения случайных чисел, предложенный Грином:

x_{i+1}=(x_i+x_{i-k}) Mod(m),

где k - большое число.

Имеются еще, так называемые, аддитивные методы, где не требуются операции умножения и деления, и другие методы.

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск