Методы расщепления
Пример 2. Сопряженное нестационарное уравнение переноса и диффузии


Здесь v1, v2, v3 — компоненты вектора скорости, u — концентрация субстанции, — коэффициент поглощения субстанции внешней средой,
. Соответствующую схему расщепления представим в виде

где разностные операторы аппроксимируют соответствующие локально - одномерные дифференциальные операторы. Так для рассматриваемой задачи
![\begin{gather*} {\mathbf{\Lambda}}_1 u = - \frac{\mu }{{h_x^2}}(u_{m + 1, jk} - 2u_{mjk} + u_{m - 1j, k} ) + \frac{{(v_1 u)_{m + 1, jk} - (v_1 u)_{m - 1, jk}}}{{2h_x }}, \\
{\mathbf{\Lambda}}_2 u = - \frac{\mu }{{h_y^2}}(u_{m, j + 1, k} - 2u_{mjk} + u_{m, j - 1, k} ) + \frac{{(v_2 u)_{m, j + 1, k} - (v_2 u)_{m, j - 1, k}}}{{2h_y}}, \\
{\mathbf{\Lambda}}_3 u = \frac{1}{{h_{z}}} \left[{- \frac{{\gamma_{m + 1/2, jk}}}{{h_{z}}}(u_{m + 1, jk} - u_{mjk} ) + \frac{{\gamma_{m - 1/2}}}{h}(u_{mjk} -
u_{m - 1, jk} )}\right] + \\
+ \frac{{(v_3 u)_{m, j, k + 1} - (v_3 u)_{m, j, k - 1}}}{{2h_{z}}} + {\sigma}u_{mjk} . \end{gather*}](/sites/default/files/tex_cache/f1477ab50484d0877197e382d35e3b5f.png)
Отметим, что в рассматриваемой задаче на каждом этапе может быть проведено расщепление и по физическим процессам. Для простоты рассмотрим двухмерное уравнение конвекции - диффузии

в котором компоненты скорости движения среды v1, v2 удовлетворяют уравнению неразрывности:

Первый этап расщепления задачи по физическим процессам связан с переносом, на нем решается разностный аналог уравнения

Второй этап расщепления описывает процессы диффузии и поглощения субстанций

Пример 3. Расщепление по физическим процессам системы уравнений газовой динамики (метод крупных частиц).
Система

u1 , u2 — компоненты вектора скорости , P — давление газа,
— плотность,
— внутренняя энергия.
Первый (Эйлеров) этап. Измеряются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а жидкость внутри каждой ячейки сетки считается моментально замороженной. Расчет производится по формулам, аппроксимирующим уравнения

На втором (Лагранжевом) этапе происходит движение газа массы через границы эйлеровых ячеек и перераспределение массы, импульса, энергии по пространству; определяются поля параметров течения газа. Аппроксимируется система уравнений
