Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики

< Лекция 3 || Лекция 4: 123456 || Лекция 5 >

4.6. Задачи для самостоятельного решения

  1. Волны Римана

    Выпишем нелинейную систему уравнений одномерных движений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов. Она состоит из уравнения Эйлера

    $ \frac{{{\partial} u}}{{{\partial} t}} + u \frac{{{\partial} u}}{{{\partial} x}} + \frac{1}{\rho} \frac{{{\partial} p}}{{{\partial} x}} = 0,  $

    уравнения неразрывности

    $ \frac{{{\partial}{\rho}}}{{{\partial} t}} + \rho \frac{{\partial}u}
{{\partial}x} + u \frac{{{\partial}{\rho}}}{{\partial}x} = 0  $

    и условия баротропности

    p = f(\rho ).

    Уравнения позволяют определить плотность \rho и скорость u в зависимости от координаты x и времени t. Система не имеет решений, зависящих только от x \pm  a_{0}t, но оказывается возможным найти решение этой системы, представляющее собой плоскую волну и являющееся обобщением решений вида f(x \pm  a_{0}t). Будем искать такие решения системы, для которых скорость u является функцией только плотности \rho. Частные решения системы уравнений носят названия решений Римана; соответствующие этим решениям движения называются волнами Римана f(x \pm  a_{0}t).

    • Доказать, что в рассматриваемом течении скорость можно определить по формуле

      $  u =  \pm  \int {\sqrt {\frac{{{dp}}}{{d {\rho}}}} \frac{{d \rho
}}{\rho}}.  $

      Обозначим

      $ \frac{dp}{d{\rho}} = a^2 ({\rho})  $
      и введем величину c = u + a. Какой физический смысл имеет величина c?

    • Задав начальный профиль возмущения плотности, численно решить уравнение для \rho (x, t):

      $ \frac{{\partial}\rho}{{\partial}T} + c(\rho )
 \frac{{\partial}\rho}{{\partial}x} = 0,  $

      • для случая адиабатических движений совершенного газа ( \gamma  = 1, 4 ):

        $  c \left({\rho}\right) = \sqrt {A \gamma } \left[{1 + 
 \frac{2}{{\gamma - 1}}}\right] {\rho}^{{{1 \over 2}}(\gamma - 1)},  $

      • задав самостоятельно некоторую зависимость давления от плотности, p = f(\rho ).
    • Описать качественное поведение решения \rho (x, t). Указать, какие требования к численному методу предъявляет возникновение в потоке скачков уплотнения. Вывести зависимость p(\rho ), при которой не возникает эффекта опрокидывания волны сжатия Римана. Дать физическую трактовку полученного соотношения. Провести численный расчет течения с полученной зависимостью p(\rho ).
    • Доказать, что рассмотренные решения Римана можно определить как такие решения, для которых имеется семейство прямолинейных характеристик.
    • Поставить условия существования центрированных волн Римана, когда

      u = u_0 f({x/t}), {\rho} = \rho_0{\varphi}({x/t}).

      Течения подобного типа — частный случай автомодельных течений, когда решение зависит от некоторой комбинации независимых переменных. Проиллюстрировать численными расчетами особенности распространения центрированных волн Римана.

< Лекция 3 || Лекция 4: 123456 || Лекция 5 >